[高中数学不等式试题找题]f(x)=(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+(a3x+b3)^2=(a1^2+a2^2+a3^2)x^2+2(a1b1+a2b2+a3b3)x+ (b1^2+b2^2+b3^2)=0 △≤0 即（a1^2+a2^2+a3^2）(b1^2+b2^2+b3^2)≥（a1b1+a2b2+a3b3）^2 a1\b1=...+阅读

不等式的证明，基本方法有 比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法 综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。 分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。 换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考 反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立 放缩法： 用柯西不等式证。等等…… 高考不是重点，但是难点。 大学数学也会讲到柯西不等式。 如果a、b都为实数，那么a平方+b平方≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。） 和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4(a=b取等) 积定和最小：当ab=P是，a+b≥2√P(a=b取等 概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数 算术平均数，arithmetic mean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average 几何平均数，geometric mean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根 设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则（a1+a2+a3+...+an）/n≥n次√（a1*a2*a3*...*an），当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号 [编辑本段]●【均值不等式的变形】

（1）对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√（a*b）≥0，即（a+b）/2≥√（a*b）≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√（a*b） (4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab (7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 2/(1/a+1/b)≤√ab≤a+b/2≤√（（a^2+b^2）/2） [编辑本段]●【均值不等式的证明】 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x),x1,x2,...xn是函数f(x)在区间（a,b）内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√（x1*x2*...*xn） 即（x1+x2+...+xn）/n≥n次√（x1*x2*...*xn） [编辑本段]●【均值不等式的应用】 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√（√x）*（√x）*(1/x)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16 [编辑本段]●【均值不等式的总结】

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√（a1*a2*a3*...*an）

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√ [（a1^2+a2^2+...+an^2）/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a

1、a

2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 【柯西不等式的证法】 柯西不等式的一般证法有以下几种： ■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 （∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai *bi）^2. 我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi）^2 = （∑bi^2） * x^2 + 2 * （∑ai * bi） * x + （∑ai^2） 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi）^2 - 4 * （∑ai^2） * （∑bi^2） ≤ 0. 于是移项得到结论。 ■②用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以（b1^2+b2^2+......+bn^2）^(1/2)乘以cosX. 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以（b1^2+b2^2+.....+bn^2）^(1/2) 这就证明了不等式. 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法. [编辑本段]【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 ■巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献.

不等式证明都有哪几种方法

不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：.作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.

（2）综合法：由因导果.

（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.

（4）反证法：正难则反.

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知，可设；已知，可设（）；已知，可设；已知，可设；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.

不等式的证明方法都有哪些

不等式的证明 1.比较法 作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小 作差比较法-----要证明a>b，只要证明a-b>0. 作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b，只要证明a/b>1 例1 求证：x2+3>3x 证明：∵（x2+3）-3x=x2-3x+()2-()2+3 =+≥>0 ∴ x2+3>3x 例2 已知a,b R+，并且a≠b，求证 a5+b5>a3b2+a2b3 证明：（a5+b5）-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵ a,b R+ ∴ a+b>0, a2+ab+b2>0 又因为a≠b，所以（a-b）2>0 ∴ （a+b）(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即 （a5+b5）-(a3b2+a2b3)>0 ∴ a5+b5>a3b2+a2b3 例3 已知a,b R+，求证：aabb≥abba 证明： = ∵a,b R+，当a>b时，>1,a-b>0,>1； 当a≤b时，≤1,a-b≤0， ≥1. ∴ ≥1， 即aabb≥abba 综合法 了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式 定理1 如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取＂=＂号） 证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b时取等号.所以 a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）. 定理2 如果a,b,c R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取＂=＂号） 证明：∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc， 很明显，当且仅当a=b=c时取等号. 例1 已知a,b,c是不全等的正数，求证 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. 放缩法 这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性— a≤b,b≤c，则a≤c，只要证明＂大于或等于a的＂b≤c就行了. 例，证明当k是大于1的整数时，， 我们可以用放缩法的一支——＂逐步放大法＂，证明如下： 分析法 从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一＂充分的＂条件，为此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道，使a2+b2≥2ab成立的某一＂充分的＂条件是a2-2ab+b2≥0，即（a-b）2≥0就行了.由于是真命题，所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的＂要证……，只要证……＂，最后推至已知条件或真命题 数形结合法 数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形的转化，可以培养思维的灵活性，形象性.通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例.证明，当x>5时，≤x-2 解：令y1=, y2=x-2， 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0， 则=x0-2>0.解之，得x0=5或x0=1（舍）.根据图形，很显然成立. 反证法 先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立. 穷举法 对要证不等式按已知条件分成各种情况，加以证明（防止重复或遗漏某一可能情况）.

如何证明不等式

4*4^2*4^3……4^n/(3*(4^2-1)*(4^3-1)……（4^n-1）)<3/2

即证（4/3）*(4^2/4^2-1)*(4^3/4^3-1)*……*（4^n/4^n-1）<3/2

楼主看到这些你是不是想到累乘呢？要是能消去后面所有项就好了！

于是我们往累乘的形式靠近..

不妨把4^n/(4^n-1)放缩成4*(4^(n-1)+x)/(4^n+x)(X为待定系数)以保证前一项的分母能约去后一项的分子

且4^n/(4^n-1)要小于4*(4^(n-1)+x)/(4^n+x)且要尽可能接近。

解不等式，不妨取x=1

即4^n/(4^n-1)<4*(4^(n-1)+1)/(4^n+1)

为了避免放缩过度，我们前3项保留，从第4项开始放缩：（这也是经过实践得出的！如果想减少这样实践的次数，x还需要减小，但这样就比较烦）

有

(4/3)*[(4^2/(4^2-1)]*[(4^3/(4^3-1)]*……*[（4^n/(4^n-1)]

<(4/3)*[(4^2/(4^2-1)]*[(4^3/(4^3-1)]*4^(n-3)*【（4^3+1）/(4^4+1)]*[(4^4+1)/(4^5+1)]……*[（4^(n-1)+1)/(4^n+1)】

粗括号内就是放缩的内容，全约去了！

化简得到原式<832/567*(4^n/4^n+1)

832/567<3/2

(4^n/4^n+1)<1

所以原式小于3/2

这个方法也是我从别人学来的 希望有所帮助

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