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巧设单位“1”解答行程难题

10月18日 编辑 39baobao.com

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(吴乃华 湖北仙桃市通海口小学)

解答行程问题,一般都要有路程、速度、时间三种量中的任意两个量。但是,在一类竞赛题中,往往只有 时间这一种量,根本不明示两个运动体的相向相遇,或者同向追及是在多少路程中发生的,因此,给解题增加 了一定的难度。

如果在解答的过程中,能根据题意恰当地设某段路程为单位“1”,以此为尺子,来度量两个或几个运动 体在不同的时间内,所行驶的路程的长短,这样,就能使数量关系明朗化,就能驾轻就熟,将问题化难为易。

例1 甲、乙、丙三人各以一定的速度,从A地到B地,丙出发5分钟后乙才出发,乙用25分钟追上丙 ;甲又比乙晚出发5分钟,经过40分钟才追上丙。甲出发后,需用多少分钟才能追上乙?

解 设乙追上丙所走的这段路程为单位“1”,则 乙每分钟能行这段路程的1/25;丙每分钟能行这 段路程的1/(25+5)=1/30;

根据“丙出发5分钟后乙才出发”、“甲又比乙晚出发5分钟”,则甲比丙晚出发10分钟。因此,当甲 出发时,丙已行驶了这段路程的1/30×10=1/3。甲追上丙,比丙多行了这段路程的1/3,花了4 0分钟。根据追及问题的关系式,可知甲比丙每分钟多行这段路程的1/3÷40=1/120。因此,

甲每分钟能行这段路程的1/30×(5+5)÷40+1/30=1/24。

通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位“1”,已推出了甲和乙速度之间的关系,因而甲追上乙所需 的时间就可知是

(1/25)×5÷(1/24-1/25)=120(分)

例2 某人沿公路骑自行车匀速前进。他发现这一公路上的公共汽车,每隔20分钟就有一辆车超过他, 每隔12分钟就有一辆车和他迎面相遇。如果这路车的两个车站,都以间隔相同的时间发一辆车,那么,每隔 多少分钟发一辆车?

解 由于两个车站都是以间隔相同的时间发车,所以在这两个车站间的这段公路上,不论是什么时刻,同 向行驶的所有车辆,两车间的距离都是相等的。如果把这两车间的间距设为单位“1”。题中“每隔20分钟 就有一辆车超过他”,即自行车和汽车同向前进,汽车比自行车多行一个“间距”,需20分钟,也就是每分 钟汽车比自行车多行“间距”的1/20(速度差);“每隔12分钟就有一辆车和他迎面相遇”,同样可知 ,自行车和汽车在一分钟内,能共行“间距”的1/12(速度和)。<<<12>>>

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