[数学“问题解决”研究概览]1．多种意义下的数学问题解决及其研究 数学问题解决是多学科研究的对象，心理学和教育学、数学和数学教育学等学科都从不同的侧面来研究它，但各自研究的出发点和落脚点是有差异的...+阅读
★例1 两个县城相距22千米，甲、乙二人同时从两城出发，相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，几小时后相遇？
解 22÷（6+5）=2（小时）
答：2小时后相遇。
【解题关键与提示】
此题可用两种方法解，（1）先求出二人每小时速度之和，减去甲每小时的速度，就等于乙每小时的速度。（2）从两城距离中减去甲2小时所行距离，就等于乙2小时所行距离，求每小时行多少干米再除以2即可。
★例2 甲、乙二人同时从两个县城相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，2小时后相遇，两个县城相距多远？
解 （6＋5）×2=22（千米）
答：两个县城相距22千米。
【解题关键与提示】
求两个县城相距多远实际上是求甲、乙二人的距离之和，距离之和= 速度之和×相遇时间。
★例3 两个县城相距22千米，甲、乙二人同时从两城出发，相对而行，2小时后相遇，甲每小时行6千米，乙每小时行多少千米？
解 方法（1）：22÷2-6=5（千米）
方法（2）：（22-6×2）÷2=5（千米）
答：乙每小时行5千米。
【解题关键与提示】
题中的22千米是两城的距离，是甲、乙二人一共所行的路程，实际上是二人所行的“距离之和”，而甲、乙二人共行（6+5）千米是行进时“速度之和”。求“相遇时间”就是看“距离之和”里包含了几个“速度之和”，就是几小时相遇。
★★例4 甲、乙二人同时从a、b两个县城相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，2小时后二人还相距4千米。两个县城相距多远？
解 （6＋5）×2＋4=26（千米）
答：两上县城相距26千米。
【解题关键与提示】
全程分成了三段：甲走的、乙走的、未走的，三段路程加起来，即得两城间的距离。因此，可先求出二人1小时共走的路程即速度和，再乘以二人行走的时间，这样就成为已走的和未走的两个部分相加了。如下图所示。
★★例5 一辆汽车和一辆自行车同时从甲、乙两地相向出发，4小时后两车在途中相遇，甲、乙两地相距240千米，汽车每小时行45千米。自行车每小时行多少千米？（用方程、算术两种方法解）
解 方法（1）：设自行车每小时行x千米。
4x+ 45×4=240
4x=240-180
4x=60
x=15
方法（2）：（240-45×4）÷4=15（千米）
答：自行车每小时行15千米。
【解题关键与提示】
两车已相遇，全程分成汽车走的与自行车走的两段，两段总长240千米，用方程解较方便。用算术解，可以这样想：全程-汽车走的路程=自行车走的路程，再除以自行车走的时间，即得速度。
★★例6 东西两地相距60千米，甲骑自行车，乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人每小时的速度各是多少千米？
解 甲：（60÷3+10）÷2=15（千米）
乙： 15-10=5（千米）
答：甲的速度是每小时15千米，乙的速度是每小时5千米。
【解题关键与提示】
甲每小时比乙快10千米，为二人“速度之差”，60÷3= 20（千米）为二人每小时的“速度之和”，因此，求二人每小时的速度可用“和差问题”的方法解答。
★★例7 两个车间要组装7200台电视机，第一车间每天组装250台，第二车间5天的组装量第一车间4天就能完成。现在两个车间同时开工，几天后能完成任务？完成任务时，两车间各组装了多少台？
解 7200÷（250＋250×4÷5）
=7200÷（250＋200）
=7200÷450
=16（天）
第一车间：250×16=4000（台）
第二车间： 7200-4000=3200（台）
答：16天后能完成任务。完成任务时，第一车间组装了4000台，第二车间组装了3200台。
【解题关键与提示】
解此题的关键是要求出第二车间每天组装的台数。由“第二车间5天的组装量第一车间4天就能完成”可知250×4=1000（台）既是第一车间4天的工作量，也是第二车间5天的工作量。因此，再用1000÷5就可求出第二车间每天组装的台数。
★★★例8 体育场的环形跑道长400米，小刚和小华在跑道的同一起跑线上，同时向相反方向起跑，小刚每分钟跑152米，小华每分钟跑148米。几分钟后他们第3次相遇？
解 设x分钟后他们第三次相遇
152x＋148x=400×3
300x=1200
x=4
答：4分钟后他们第3次相遇。
【解题关键与提示】
两人在环形道上跑步，开始“反向”，后来会转化成“相向”，所以实际上就是相向相遇问题。相遇时两人正好走完一圈。全长400米，所以第3次相遇时两人共跑了（400×3）米。因此可以按照“甲程+乙程=全程”列方程解，也可用算术方法解。
即：（1）400×3÷（152＋148）= 4（分）
（2）400÷（152＋148）×3= 4（分）
★★★例9 a港和b港相距662千米，上午9点一艘“寒山”号快艇从甲港开往乙港，中午12点另一艘“天远”号快艇从乙港开往甲港，到16点两艇相遇，“寒山”号每小时行54千米，“天远”号的速度比“寒山”号快多少千米？（用两种方法解）
解“寒山”号比“天远”号快艇先开时间：
12-9=3（小时）
从“天远”号开出到与“寒山”号相遇的时间：
16-12=4（小时）
方法（1）：“天远”号比“寒山”号快的千米数：
（662-54×3）÷4-54-54=500÷4-54-54
=125-54-54
=17（千米）
方法（2）：设“天远”号每小时比“寒山”号快x千米。以下略。
【解题关键与提示】
此题中的时间是用“时刻”替代的，只要把时刻转换成时间就简单了。换算的方法是：结束时间-开始时间= 经过时间。
★★★例10 甲骑摩托车，乙骑自行车，同时从相距126千米的a、b两城出发、相向而行。3小时后，在离两城中点处24千米的地方，甲、乙二人相遇。求甲、乙二人的速度各是多少？
解 甲的速度：（126÷2＋24）÷3=29 （千米/小时）
乙的速度：（126÷2-24）÷3= 13（千米/小时）
答：甲骑摩托车的速度是每小时29千米，乙骑自行车的速度是每小时13千米。
【解题关键与提示】
此题可用线段图表示：
如上图，中点处就是a、b两城正中间的地方，所以由中点处到a城和b城之间的距离都是（126÷2）千米。甲骑摩托车比乙骑自行车速度快，所以同样行3小时，行驶的路程比乙多，要在离中点24千米处相遇，因此，甲走的路程是（126÷2+24）千米；乙走的路程是（126÷2-24）千米。
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