[利用函数极限求数列极限例题]你写的好乱，看了半天看懂了 第一个等号：（tanx/x）^((1/(x^2))=e^(ln (tanx/x)/(x^2)），其中取极限穿越进指数 第二个等号：利用了当x为无穷小量时 ln(x+1)同阶于x 第三个等号：指数中的...+阅读
在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下. 1，直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. 例1 求函数y=3-的值域. 解： 0 - 0 3- 3 故函数的值域是：[-∞，3] 2，配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一. 例2，求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域. 解：将函数配方得：y=(x-1)+4,x[-1,2]，由二次函数的性质可知： 当x=1时，y =4 当x=-1，时=8 故函数的值域是：[4,8] 3，判别式法 例3 求函数y=的值域. 解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1）-x+(y-1)=0
(1)当y≠1时，xR，△=（-1）-4(y-1)(y-1) 0 解得：y
(2)当y=1，时，x=0，而1[，] 故函数的值域为[，] 例4求函数y=x+的值域. 解：两边平方整理得：2-2(y+1)x+y=0
(1) xR，△=4(y+1)-8y0 解得：1-y1+ 但此时的函数的定义域由x(2-x)0，得：0x2. 由△0，仅保证关于x的方程：2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0,2]上，即不能确保方程
（1）有实根，由△0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，].可以采取如下方法进一步确定原函数的值域. 0x2,y=x+0, =0,y=1+代入方程
（1），解得：=[0,2]，即当=时，原函数的值域为：[0,1+]. 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除. 4，反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域. 例5 求函数y=值域. 解：由原函数式可得：x= 则其反函数为：y= 其定义域为：x≠ 故所求函数的值域为：（-∞，） 5，函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域. 例6 求函数y=的值域. 解：由原函数式可得：= >0,>0 解得：-1 7，换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用. 例9 求函数y=x+的值域. 解：令x-1=t,(t0)则x=+1 ∵y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知 当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞. 故函数的值域为[1，+∞） 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目. 例10 求函数y=+的值域. 解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(-8)间的距离之和. 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞] 例11 求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=∣AB∣==， 故所求函数的值域为[，+∞]. 例12 求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=- 上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差.即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：
（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P ，则构成△ABP ，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣
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