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1、常数 f '(x)=(C)'=lim[h-->0] (f(x+h)-f(x))/h=lim[h-->0] (C-C)/h=0
2、三角函数
(sinx)'=lim[h-->0] (sin(x+h)-sinh)/h=lim[h-->0] 2cos(x+h/2)sin(h/2)/h=cosx
用到了和差化积、第一个重要极限
cosx与sinx完全类似
(tanx)'=(sinx/cosx)'=(cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x=sec²x
cotx与tanx完全类似
3、对数函数
先证一个结论lim[h-->0] ln(1+h)/h=lim[h-->0] ln(1+h)^(1/h)=1
用到了第二个重要极限
因此ln(1+h)与h等价，等价无穷小可替换
(lnx)'=lim[h-->0] (ln(x+h)-lnx)/h=lim[h-->0] 1/h*ln((x+h)/x)=lim[h-->0] 1/h*ln(1+h/x)
=lim[h-->0] (1/h)*(h/x)=1/x
4、指数函数
先证一个结论：lim[h-->0] (e^h-1)/h=1
换元，令e^h-1=t，则h=ln(1+t),lim[h-->0] (e^h-1)/h=lim[t-->0] t/ln(1+t)=1 证毕
(e^x)'=lim[h-->0] (e^(x+h)-e^x)/h=lim[h-->0] e^x*(e^h-1)/h=e^x
5、幂函数
(x^a)'=(e^(alnx))'=e^(alnx)*(alnx)'=x^a*(a/x)=ax^(a-1) a≠0
6、反三角函数
要用到反函数的求导公式：dy/dx=1/(dx/dy)
对于y=arcsinx，反函数为：x=siny
则（arcsinx）'=1/(siny)'=1/cosy=1/√（1-sin²y）=1/√（1-x²）
y=arccosx时类似
对于y=arctanx，反函数为：x=tany
(arctanx)'=1/(tany)'=1/sec²y=1/(1+tan²y)=1/(1+x²)
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