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实数的定义：有理数与无理数统称为实数

有理数可以按“整”与“分”来分类（即定义），也可按正、负分类（即数性）

要给出自然数的严谨定义并非易事。Peano公设提出自然数要适合五点：

有一起始自然数 0。

任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a +1。

0 并非任何自然数的后继。

不同的自然数有不同的后继。

（数学归纳公设）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。

若把 0 除出自然数之外，则公设内的 0 要换作 1。

集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即 0 ={ },1 = ,2 = ,3 = ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。 在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。

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