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质数合数分解质因数

09月21日 编辑 39baobao.com

[质数合数分解质因数<练习题>]1.两个质数的和是33,求这两个质数的积. 2.用1,2,4,5,8中的三个数字组成最大的三位质数. 3.有四个人,他们的年龄一个比一个大一岁,他们的年龄的乘积等于43680,求这四个人的年龄. 4.求8400有...+阅读

在自然数中,一个数除1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数.例如2,3,5,7,11,……都是质数.一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数.例如4,6,8,9,12,……都是合数.

1既不是质数,也不是合数.这样,自然数在按约数个数分类,可以分成:质数、合数和1.

偶数中只有2是质数,而且是所有质数中最小的一个.除2以外所有的偶数都是合数,除2以外所有的质数都是奇数.

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数就叫做这个合数的质因数.例如,因为70=2×5×7,所以2,5,7是70的质因数.

把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如,60=2×2×3×5=22×3×5,把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示,就是把60分解质因数.

例1 两个质数的积是46,求这两个质数的和.

分析:两个质数的积是46,46是偶数,只能是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,因此很容易得出另外的质数,从而问题得以解决.

解:因为46是偶数,因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,另一质数46÷2=23,所以2与23的和为25.

例2 用2,3,4,5中的三个数能组成哪些三位质数?

分析:首先考虑个位数字是几,如果个位数字是2或4,这样的三位数必能被2整除,因此这样的三位数不会是质数,如果个位数字是5,这样的三位数必能被5整除,这样的三位数也不会是质数,所以个位数字只能是3,再由剩下的三个数字组成百位、十位,得出个位数字是3的三位数为:243,423,253,523,453,543,最后根据质数的判断方法,得到所求的质数.

解:如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时,这个数必能被2或5整除,因此个位数字只能是3,而个位数字是3的三位数有243,423,253,523,453,543,其中243,423,453,543均能被3整除,253能被11整除,所以只有523是质数.

质数的判断方法是,当一个数比较小时,用定义直接判断,但这个数比较大时,通常采用查质数表,最好记住100以内的所有质数.在没有质数表的情况下,可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除.如果能被其中某一个质数整除,就说明这个数是合数,如果除到商已比试除的质数小,还不能被这些质数中的任何一个整除,那么这个数一定是质数.

例如,判断100以内的数是否是质数,只需用2、3、5、7这四个质数去试除,如果没有一个能整除它,这个数一定是质数,否则不是质数.判断97是不是质数,因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,因此97是质数.为什么不必去试除比97小的所有的质数呢?因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,它就一定不能被4,6,8,9,10等数(分别为2,3,5的倍数)整除,又因为,如果用11或大于11的质数去试除, 97÷11=8…9, 97÷13=7…6,其商为8、7,比除数还小,都已试除过,因此判断100以内的数是否是质数只需用2,3,5,7去试除.

判断200以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7,11,13,17这七个质数去试除;判断300以内的质数,只需用2到17这七个质数去试除;判断400以内的质数,只需用20以内的八个质数与去试除;判断500以内的质数,只需2到23的质数去试除.其余可用类似的方法推出,你可以思考一下1000以内的质数如何判断?

例3 将40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等.

分析:如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的.要使两组数的乘积相等,只有两组数中的质因数相同,而且质因数的个数也相同,就可以了,所以从这八个数分解质因数入手,根据各质因数的个数,进行适当的搭配,便能找出问题的答案.

解:将八个数分解成质因数:

40=23×5 44=22×11

45=32×5 63=32×7

65=5×13 78=2×3×13

99=32×11 105=3×5×7

这八个数分解质因数后一共有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13.因此,这八个数被分成两组后,每一组应含有3个2,4个3,2个5,1个7,1个11,1个13,这样可以得到两组分别为:40,63,65,99和44,45,78,105.

例4 360有多少个约数?

分析:如果先求360的所有约数,再数出它们的个数,显然比较麻烦.为此,先将360分解质因数:360=23×32×5,360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成,我们将360的所有约数列成下面的数阵:

1 2 22 23

3 2×3 22×3 23×3

32 2×32 22×32 23×32

5 2×5 22×5 23×5

3×5 2×3×5 22×3×5 23×3×5

32×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5

这个数阵共6行,每行4个约数,所以360共有4×6=24个,而24=(3+1)×(2+1)×(1+1),这里3,2,1恰好是360分解质数式子中2,3,5的个数,从而得到下面关于约数个数的一个重要结论:

一个大于1的整数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积.用数字式子表示为:

如果a分解质因数为:

则a的全体约数的个数为:

(r1+1)×(r2+1)×…×(rn+1)

例5 有30个约数的最小自然数是多少?

分析:设所求的数为a,则a有30个约数,因为30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5,要使a最小,一般使a的质因数的幂指数尽可能小,质因数的个数尽可能少, 所以a必为下列形式:

其中a1,a2,a3为互不相同的质数.

要使a最小,a1,a2,a3尽可能小,显然a3=2,a2=3,a1=5,这样

a=24×32×5=720

解:因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5,而且题中要求

a2、a3为互不相等的质数,为了使a最小,a3=2,a2=3,a1=5,所以a=24×32×5=720.

例6 九个连续自然数中至多有四个质数,例如1至9中有2、3、5、7四个质数.请在200以内再找出五组这样的质数.

分析:9个连续自然数中至多有5个奇数.在两位数中,个位是5的数必能被5整除,而且三个连续的奇数必有一个能被3整除,所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时,其余的四个奇数才有可能是质数.当找到一组这样的两位以上的质数时,另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数.按照上述办法找出后,再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果.

首先容易得出3,5,7,11;5,7,11,13;在两位数中,按照上面的方法可得出以下各组数:

11,13,15,17,19;

41,43,45,47,49;

71,73,75,77,79;

101,103,105,107,109;

131,133,135,137,139;

161,163,165,167,169;

191,193,195,197,199;

根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11,13,17,19;101,103,107,109;191,193,197,199这三组符合条件.

解:200以内另外五组这样的质数为:3,5,7,11;5,7,11,13;11,13,17,19;101,103,107,109;191,193,197,199.

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