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复数的几种常见题型
山东 史纪卿 鲁彩凌
一、利用复数的代数形式
由复数的代数形式为 知，用代入法解题是最基本且常用的方法.
( )z x yi x y R,
例 1 已知 ， 且 ，若 ，则 的最大值是（ ）
1
z
2
zC
11z
1 2 2z z i
1 2
z z
A.6B.5C.4D.3
解析：设 ， ，那么 .
1
z x yi
2
z x mi
2 2 1x y
, , ,
1 1x≤≤
1 1y≤≤
2y m
.
2 2 2 2 2 2
1 2 (2 ) ( ) 4 ( 2 ) 4( ) 4 8 8 8z z x y m x y y x y y y
， 时， ，故选C.
1 1y∵≤≤
1y ∴
1 2 max 4z z
二、利用复数相等的充要条件
在复数集 中，任意取两个数 ， ，
a bi a b C R,|
a bi
( )c di a b c d R,,,
，且 .
a bi c di a c
b d
例 2 已知复数 ，求实数 使 .
1z i
a b,
2
2 ( 2 )az bz a z
解： ，
1z i ∵
,
2 ( 2 ) ( 2 )az bz a b a b i ∴
.
2 2 2
( 2 ) ( 2) 4 4( 2) ( 4 ) 4( 2)a z a a i a a a i
因为 都是实数，所以由 ，得
a b,
2
2 ( 2 )az bz a z
2
2 4
2 4( 2)
a b a a
a b a
,
,
两式相加，整理得 .
26 8 0a a
解得 ， ，
12a
24a
对应得 ， .
11b
22b
所以，所求实数为 ， 或 ， .
2a
1b
4a
2b
三、利用复数除法法则以及虚数 ， 的运算性质
i
1.形如 ，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；
a bi
c di
2.熟记一些常用的结果：
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