[语文复习中归纳法的妙用]复习其实就是对学过的知识进行整理和归纳的过程。目的在于“把厚书读薄”。归纳不是进行知识的简单堆聚，而是为了找出知识的本质规律及其内在联系，从而提高自身对知识的理性把...+阅读

首先说明一点， 数学归纳法原理是自然数的公理之一.

所以关于自然数的命题基本上都有数学归纳法背景.

常用的＂依此类推＂， ＂...＂这样的写法本质上也是数学归纳法的简略形式.

要在＂形式上＂不用数学归纳法证明容斥原理， 可以用二项式定理.

设A[1], A[2],..., A[n]是n个集合， 用|S|表示集合S的元素个数， C(m,k)表示m中选k的组合数.

证明容斥原理： |A[1]∪A[2]∪...∪A[n]| = ∑{1 ≤ i ≤ n} |A[i]|-∑{1 ≤ i < j ≤ n} |A[i]∩A[j]|

+∑{1 ≤ i < j < k ≤ n} |A[i]∩A[j]∩A[k]|-...+(-1)^(n-1)·|A[1]∩A[2]∩...∩A[n]|.

对任意x ∈ A[1]∪A[2]∪...∪A[n]， 设A[1], A[2],..., A[n]中恰有m个集合包含x.

A[i]∩A[j]包含x当且仅当A[i]与A[j]都包含x.

因此在A[1], A[2],..., A[n]的两两之交中恰有C(m,2)个交集包含x.

在三三之交中恰有C(m,3)个集合包含x， 依此类推.

可知在右端的和式中， x被计数的次数为C(m,1)-C(m,2)+C(m,3)-...+(-1)^(m-1).

而由二项式定理， 有0 = (1-1)^m = 1-C(m,1)+C(m,2)-C(m,3)+...+(-1)^m.

即C(m,1)-C(m,2)+C(m,3)-...+(-1)^(m-1) = 1.

A[1]∪A[2]∪...∪A[n]中的任意元素， 在右端和式中恰好被计数1次.

即证明了容斥原理.

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