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答案：

1：证明：延长 OP 交 ABC 外接圆于 P1,P2，延长 OQ 交 ABC 外接圆于 Q1,Q2，不失一般性可以假设 P1,Q1 分别是离 P,Q 较近的交点。

PQ于KLM外接圆相切 = 角LKM = 角LMP = 角QPA 和 角KLM = 角KMQ = 角PQA = APQ 与 MKL相似 = AP/AQ = MK/ML = QB/PC = AP*PC = AQ*BQ。由于 PP1*PP2 = AP*PC 和 QQ1*QQ2 = AQ*QB，所以 PP1*PP2 = QQ1*QQ2。而 PP1+PP2 与 QQ1+QQ2 都等于 ABC 外接圆直径，于是 PP1 = QQ1，从而 OP = OQ

2：证明：假如 BE 与 CA 垂直，那么容易得出 ABC 是等边三角形，从而 角CAB = 60度。

假如 BE 与 CA不垂直，那么假设 ABC 的内心为 I(BE 与 AD 的交点)，作 IF 垂直于AC。可以得到 F 与 E 不重合，而由对称性可知 角IFK = 角IDK = 45度，从而 角IFK = 角IEK，因此 I, K, F, E 四点共圆，因此 CK*CI = CF*CE = CD*CE。这等价于 CK/CD = CE/CI。而 CI是角平分线，因此 三角形CKD 与 三角形 CEI 相似，所以 角CIE = 角 CDK = 45 度。从而可以得出 三角形ABC 的两个底角等于 45度，而 角CAB 等于90度。

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