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（一）完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484，… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 （10a+1）=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，於是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 （2k+1）=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。 在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到（2k+1）是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k）为8n型或8n+4型的数。 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 （3m）=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 除了上面关於个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等於这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。 对於n位数，也可以仿此法予以证明。 关於完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 （9k）=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则 ==（ac） 必要性：若为完全平方数，=，则 性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。 证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
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