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求极限大一数学分析

01月06日 编辑 39baobao.com

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1. 分子分母同时乘以 (1-α),

因为 (1-α)(1+ α)= 1- α ², 重复利用这个公式,

整理得分子为 1- α^(2^(n+1)) ,因为 | α | <1 , 所以

当n → ∞ 时, 1- α^(2^(n+1)) → 1 。

所以 所求极限为 1/(1- α) 。

2.

设 an = (1/2) * (3/4)* …… * ((2n-1)/(2n)) ,

因为 第 n+1 项 为:

a(n+1) = an * (2n+1)/(2n+2) < an,所以 an 为单减数列。

利用数学归纳法,可证 0< an <1 .

所以 an 收敛,即原极限存在,设为 a 。则 0 ≤ a ≤ 1 。

计算 an 的平方,得

an ^2 = (1/4) * (9/16)* …… * ((2n-1)^2 /(2n)^2) ,

因为 (2n-1)^2 /(2n)^2 <(2n-1)^2 / [(2n)^2 -1] = (2n-1)/(2n +1)

所以 an^2 两边取极限,得 a^2 ≤ 0。

所以 a = 0 。

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