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求写最短路径算法

05月13日 编辑 39baobao.com

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们把求A →E 的最短路分解为四个阶段A →B →C→D →E 来求解。每一个阶段可以用一个矩阵来表示,这个矩阵称为权矩阵。相邻阶段的路径可以用权矩阵的乘积来表示。但这里的矩阵乘法和普通矩阵乘积运算的区别是:普通矩阵乘积其对应元素是相应元素乘积的代数和,这里把元素相乘改为相加,元素的代数和改为取小运算,如果不同层节点间没有连接,则视它们之间的距离为无穷大. 如果是求极大,改为取大运算,此时如果不同层节点间没有连接,则视它们的距离为0。

如下:

由A地到B地的距离可表示为:A[2 5 8]

由B地到C地的权矩阵可表示为

[3,6,5;7,10,8;4,9,6]

因此由A到C的权矩阵为[2,5,8][3,6,5;7,10,8;4,9,6]=[5,8,7]

因此由A到D的权矩阵为[5,8,7)][7,5;3,4;5,2]=[11 ,9]

由A→E的权矩阵为:[11 ,9][4,2)]=[15,11]

因此从家里到学校的最短距离为11百米,最近的路径为从A地出发经过B1地C1地D2地到达E地。

下面我们给出基于“矩阵乘法”求解最短路的算法:

第一阶段:计算出图中从起始点到终点最短路的长度.

step1 划分出该网络图中的层次关系(网络划分为N 层,起点为第一层,终点为第N 层) ;

step2 依次给出从第i 层到第i + 1 层的权矩阵( i= 1 ,2 , …, N21) ; (若第i 层有m 个顶点;第i + 1 层有n

个顶点, 则从第i 层到第i + 1 层的权矩阵为m *n

阶) .

step3 按照我们定义的矩阵乘法计算出最短路的

数值.

第二阶段:寻找最短路所经过的中间点.

(利用第一阶段中step2 的数据) 计算出从第i 层到

终点的最短路, 对比与i21 层到终点的最短路, 从而确

定出第i 层上最短路所经过的顶点( i = 2 , …, N21) .

求解:图论中常见的最短路径算法有几种?都是什么

算法 Algorithm 算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说,就是计算机解题的过程。在这个过程中,无论是形成解题思路还是编写程序,都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法,后者是操作实现的算法。 一个算法应该具有以下五个重要的特征:

1、有穷性: 一个算法必须保证执行有限步之后结束;

2、确切性: 算法的每一步骤必须有确切的定义;

3、输入:一个算法有0个或多个输入,以刻画运算对象的初始情况,所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件;

4、输出:一个算法有一个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的;

5、可行性: 算法原则上能够精确地运行,而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。 算法的设计要求 1)正确性(Correctness) 有4个层次: A.程序不含语法错误; B.程序对几组输入数据能够得出满足规格要求的结果; C.程序对精心选择的、典型的、苛刻的、带有刁难性的几组输入数据能够得出满足规格要求的结果; D.程序对一切合法的输入数据都能产生满足规格要求的结果。 2)可读性(Readability) 算法的第一目的是为了阅读和交流; 可读性有助于对算法的理解; 可读性有助于对算法的调试和修改。 3)高效率与低存储量 处理速度快;存储容量小 时间和空间是矛盾的、实际问题的求解往往是求得时间和空间的统

一、折中。 算法的描述 算法的描述方式(常用的) 算法描述 自然语言 流程图 特定的表示算法的图形符号 伪语言 包括程序设计语言的三大基本结构及自然语言的一种语言 类语言 类似高级语言的语言,例如,类PASCAL、类C语言。 算法的评价 算法评价的标准:时间复杂度和空间复杂度。 1)时间复杂度 指在计算机上运行该算法所花费的时间。用“O(数量级)”来表示,称为“阶”。 常见的时间复杂度有: O

(1)常数阶;O(logn)对数阶;O(n)线性阶;O(n^2)平方阶 2)空间复杂度 指算法在计算机上运行所占用的存储空间。度量同时间复杂度。 时间复杂度举例 (a) X:=X+1 ; O

(1) (b) FOR I:=1 TO n DO X:= X+1; O(n) (c) FOR I:= 1 TO n DO FOR J:= 1 TO n DO X:= X+1; O(n^2) “算法”一词最早来自公元 9世纪 波斯数学家比阿勒·霍瓦里松的一本影响深远的著作《代数对话录》。20世纪的 英国 数学家 图灵 提出了著名的图灵论点,并抽象出了一台机器,这台机器被我们称之为 图灵机 。图灵的思想对算法的发展起到了重要的作用。 算法是 计算机 处理信息的本质,因为 计算机程序 本质上是一个算法,告诉计算机确切的步骤来执行一个指定的任务,如计算职工的薪水或打印学生的成绩单。 一般地,当算法在处理信息时,数据会从输入设备读取,写入输出设备,可能保存起来以供以后使用。 这是算法的一个简单的例子。 我们有一串随机数列。我们的目的是找到这个数列中最大的数。如果将数列中的每一个数字看成是一颗豆子的大小 可以将下面的算法形象地称为“捡豆子”: 首先将第一颗豆子(数列中的第一个数字)放入口袋中。 从第二颗豆子开始检查,直到最后一颗豆子。如果正在检查的豆子比口袋中的还大,则将它捡起放入口袋中,同时丢掉原先的豆子。 最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一颗。 下面是一个形式算法,用近似于 编程语言 的 伪代码 表示 给定:一个数列“list",以及数列的长度"length(list)" largest = list[1] for counter = 2 to length(list): if list[counter] >largest: largest = list[counter] print largest 符号说明: = 用于表示赋值。即:右边的值被赋予给左边的变量。 List[counter] 用于表示数列中的第 counter 项。例如:如果 counter 的值是5,那么 List[counter] 表示数列中的第5项。

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