[经济学中函数的凹凸性为什么和数学中的凹]偶遇类似困惑 面段文字转自百科许能解您疑惑 补充数界关于函数凹凸性定义外定义反Convex Function内数书指凹函数Concave Function指凸函数内涉及经济书凹凸性提外提致单纯...+阅读
1 在现代消费者理论中，以商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m三者为自变量的效用函数形式有两类：一类是仅以消费束X为自变量的“直接效用函数”U(X)；另一类是以商品价格向量P和消费者预算约束m两者为自变量的“间接效用函数”v(P,m)。 直接效用函数U(X)的思想是：只要消费者购买（消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量（如价格向量P）如何置定或变动），消费者的偏好或效用大小便唯一地确定。即，确定的消费束X对应确定的效用函数值U(X)。 间接效用函数v(P,m)是建立在仅以消费束X为自变量的直接效用函数U(X)的基础之上的。其思路是：只要消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者一定，消费者在PX=m约束下，最大化其直接效用函数U(X)的值，此时的最大U(X)值即是间接效用函数v(P,m)的函数值。
需要特别指出的是，消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者确定，消费者最大化其效用水平的购买消费束X并不要求唯一确定（虽然大多数时候是唯一确定的），但这些不同的向量X所对应的直接效用函数U(X)的值却必须是唯一的“最大值”。 从直接效用函数U(X)的定义，和间接效用函数v(P,m)函数的建立及求解过程我们可以发现，两类效用函数在本质上是完全相同的。间接效用函数v(P,m)是建直接效用函数U(X)的基础之上的。即：无论是直接效用函数U(X)，还是间接效用函数v(P,m)，只要消费者最终消费的商品数量束X一定，消费者便有确定的效用水平。对于直接效用函数U(X)而言，自变量X对因变量U(X)有“直接的决定作用”，这也是U(X)被称为“直接效用函数”的原因。对于间接效用函数v(P,m)而言，自变量P和m对因变量——效用水平的决定作用，实际上必须通过消费者最终消费的、确定的商品数量束X（或商品数量束集合）来完成。
所以，自变量P和m对因变量——效用水平是起“间接性的决定作用”。其求解过程表明，效用水平的大小实际仍由消费束X直接地决定。这也就是v(P,m)为什么被称为“间接效用函数”的原因。 2 边际效益递减是经济学的一个基本概念，它说的是在一个以资源作为投入的企业，单位资源投入对产品产出的效用是不断递减的，换句话，就是虽然其产出总量是递增的，但是其二阶倒数为负，使得其增长速度不断变慢，使得其最终趋于峰值，并有可能衰退。 最明显的诠释，就是非线性函数，例如二次曲线。 在生活中，我们可以看到许多例子：给你一个可爱多，你高兴的乱跳以为赚了，接下来是第二个……可是一直给你，你会觉得开始恶心了。这有两个原因：一，你吃饱了，生理不需要了，二，你吃腻了，刺激受够了。
你希望有个机会表白自己“老大，给个哈根啊好啊？” 所谓的新官上任三把火，讲的也是这个道理：刚来了要混个脸熟，所以拼尽全力在所不辞。日子一久，也就淡了。一般的教材会这样解释：神秘莫测的心理学和社会学。 如果我们建立一个映射，使得各种效用是可比的（比如，我们定义跑得快比跑得稳好，这并非没有意义，赛车界就是个例子），那么在一个时间序列上，投入和产出（以及累积投入和累计产出）就可以作为模型。通过上面两个例子可见，这个概念可以理解成两个特点：一，t=0比t->无穷时候的产出大的多（这是序列函数的像）。二，t->T和t->T+1在T->无穷时候的变化不大（这是像的一阶倒数）。前者说明总体趋势递减，后者说明递减速度趋缓。 我们可以想想，边际效用递减式一个无处不在的规律，你想过四级，于是找了本宝书，从A背起，不错，一会儿就背完呢（当然，本来A就不太多，我就是这种人），然后是B，然后是……B part2，然后是B part 2 1/2...级数的概念有了应用。
当然你可以选择从Z开始背回头（当然，我也是这种人）。 可见，投入和产出是相同的概念，由于投入了就要求有产出，所以边际效益递减的逆仍然适用。 我们可以拓展到离开效用这个概念。让我们看一个实际中的问题： 昨天打扫房间卫生，发现刚刚擦过的桌子一层灰又上去了，和旁边的一个小支架看上去没什么区别。实际上，后者上次被美容的时候我还没在南京…… 一个东西从干净到涨很快，可是从脏到很脏是一个多么漫长的过程阿，指望考古队？（尽管也有评价的因素） 大家还可以想到很多很多，比如，人文一点，“失去的才是真”。 我们如何利用这个规律呢？经济学的解释是资源的最优配置。因为投入的太多使得最终的收益摊的太薄。再好的东西也有个限度。理工科的更加清楚，所谓的各种高级操作都是某种程度上的吃力不讨好，最有效的往往是那些基本操作。
更高深的是当然一些数学上的游戏。 然而我觉得，这个现象的起源绝对是一个哲学问题，那就是我们为什么进步和发展。 想想，如果边际效益递增，我们还需要创新吗？我们还需要坚持吗？同志们，可爱多足够了，不，凉水就行！魅力这个词，永远的就失去了意义。
西方经济学的一道题目有关效用函数的
设L=3*X1*(X2)^2-D*(540-P1*X1-P2*X2)
假设X2,D不变，用X1对L作微分（partial differentiation）：得到
(1) 3*(X2^2)-20D=0
同样假设X1,D不变，用X2对L作微分（partial differentiation）：得到
(2)6*X1*X2-30D=0
再假设X1,X2不变，用D对L作微分（partial differentiation）：得到
(3) 540-20X1-30X2=0
有方程（1）、（2）可以得到3*X2=4*X1， 代入（3）:
540-20X1-40X1=0
X1=9
所以，X2=12.
总效用=3*9*(12^2)=3888
这里打公式太费劲，凑合看吧。
L代表拉格朗吉方程（Largarian Equation）,D代表lameda。
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