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增根（extraneous root ），在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。 编辑本段产生增根的来源 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

（1）分式方程

（2）无理方程

（3）非函数方程 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根 例：X-2 16 X+2 —— - —— = —— X+2 X^2-4 X-2 解： （X-2）^2-16=(X+2)^2 X^2-4X+4-16=X^2+4X+4 X^2-4X-X^2-4X=4+16-4 -8X=16 X=-2 但是X=-2使X+2和X^2-4等于0，所以X=-2是增根 分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分时方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。 例如： 设方程 A(x)=0 是（x）=0 的根，称 x=a 是方程的增根；如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根，称x=b 是方程B(x)=0 的失根. 编辑本段非函数方程增根介绍 在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。 例如：若已知椭圆（x^2）/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0),O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。 存在一种解法： 椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程： （x^2）/a^2+(y^2)/b^2=1 (x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0 →b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*) 因为有两个根，所以△>0 ∴△=（2b^2-a^2）>0 ∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二） 而正解却是 由（*）得 x1=a x2=a·b^2/c^2 ∴00 于是我们取e=1/2 假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1 即可得椭圆（x^2）/4+(y^2)/3=1···① 与圆x^2+y^2-2x=0···② 联立即可得 x^2-8x+12=0 ···（*） 有十字相乘 x1=2 x2=6 显然 此时 x2=6是增根 将x2=6 带入①式 y^2= -24 将x2=6 带入②式 y^2= -24 将x2=6 带入（*）式 y^2=2x-x^2= -24 可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。 不过值得注意的是： ①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生曾根。 ②增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域（-2,2） ②式定义域（0,2）大多数人是在②式中，用x表示y，写成y=ax-x^2，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再带入②式，我们依然会得到增根。 下面列出两种必然会出现增根的一般式： ①椭圆与抛物线 椭圆（x^2）/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得 b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0 由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20，则x20）中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|0）和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得 b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0 由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20 可知，若x1>0，则x20）中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|>|x2|） 编辑本段无理数方程增根介绍 √ （2X^2-X-12）=X 解：两边平方得2X^2-X-12=X^2 得X^2-X-12=0 得X=4或X=-3（增根） 出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心，错误还会在无理不等式中体现 解分式方程时什么根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x，变形成x(x-2)=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。 还可以把x代入最简公分母也可。

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