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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第43章 开放型问题 1. (2011四川宜宾，22,7分)如图，飞机沿水平方向（A,B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：

（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；

（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤. 【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分 ⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为 ，测出飞机在B处对山顶的俯角为 ，测出AB的距离为d，连接AM,BM. ⑵第一 步，在 中， ∴ 第二步，在 中， ∴ 其中 ，解得 . 2. (2011山东济宁，22,8分)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所 以 .可求出 和 的值，进而可求得 与 的比值.

（1） 请按照小明的思路写出求解过程.

（2） 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

（1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ， 则 ， ， . ∵ ，∴ .2分 ∴ ， . ∴ . 4分

（2）证明：作 ∥ 交 于点 ，5分 则 ， . ∵ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ .∴ .7分 ∴ .8分 3. (2011山东威海，24,11分)如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N， 将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.

(1)若∠1=70°，求∠MNK的度数.

（2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由.

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值. （备用图） 【答案】 解：∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1. ∵∠KMN=∠1， ∴∠KNM=∠KMN. ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°. ∴∠MNK=40°.

（2）不能. 过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1， 由

（1）知∠KNM=∠KMN. ∴MK=NK. 又MK≥ME， ∴NK≥1. ∴ . ∴△MNK的面积最小值为 ，不可能小于 .

（3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合. 设MK=MD=x，则AM =5-x，由勾股定理，得 ， 解得， . 即 . ∴ . （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC. 设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得 即 . ∴ . ∴△MNK的面积最大值为1.3. （情况二） 4. (2011山东烟台，24,10分)已知：如图，在四边形ABCD中，∠A BC=90°，CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.

(1)求证：AB=BC;

(2)当BE⊥AD于E时，试证明 ：BE=AE+CD. 【答案】

（1）证明：连 接AC， ∵∠ABC=90°， ∴AB2+BC2=AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2. ∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2， ∴AB=BC.

(2)证明：过C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形. ∴CD=EF. ∵∠ABE+∠BAE= 90°，∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠BAE=∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE=BF. ∴BE=BF+EF =AE+CD. 4. (2011湖北襄阳，21,6分) 如图6，点D,E在△ABC的边BC上，连接AD,AE. ①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①② ③；①③ ②；②③ ①.

（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答 ） ；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）. 【答案】

（1）①② ③；①③ ②；②③ ①.3分

（2）（略）6分

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