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99全国大学生数学建模竞赛题目 c题煤矸石堆积 煤矿采煤时，会产出无用废料煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石。通常矸石的堆积方法是： 架设一段与地面角度约为 β=25゜ 的直线形上升轨道（角度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。

现给出下列数据： 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角）α£55゜； 矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3； 运矸车所需电费为 0.50元/度（不变）； 运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约下降2%； 土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅约10%； 银行存、贷款利率均为5%； 煤矿设计原煤产量为300万吨/年； 煤矿设计寿命为20年； 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%~10%。

另外，为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10%。 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为100万元/年，这笔钱是否够用？试制订合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用。 1 模型假设 除了已给的数据外，还作以下假设 1） 原煤产量为300万吨/年，理解为去掉矸石的净煤产量； 2） 年度征地方案理解为最多在每年年初征地一次； 3） 用于处理矸石的经费理解为在每年年初一次拨出； 4） 银行存、贷款利率5%为复利；煤矿使用银行资金存贷自由； 5） 征地费及时付出，电费当年付出； 6) 20年只堆一座矸石山. 2 模型建立 2.1 征地计划 2.1.1矸石山的底面积、体积与高的关系 图中A-SBOD是棱锥，A-BCD是部分圆锥. DSOB 是直角三角形，记矸石高为h,g=∠OSB， 则sing=(h/tanα)/（h/tanβ）=tanβ/tanα， Þg=19o， 矸石山的底面积为 S=h2[cosg/( tanβtanα)+（g+p/2）/tan2α]=2.345h2m2 征地面积S(h)=1.1S=2.587 h2m2，矸石山的体积为 V(h)=Sh/3=0.784 h3m3. 2.1.2 征地面积与采煤出矸率的关系 设出矸率为p， 原煤产量为m万吨/年， 矸石产量为g万吨/年， 由（m+g）p=g， Þg=[p/(1-p)]m， 记q=p/(1-p)， 由此知出矸量为300q*107kg/年， 按矸石容重c=2吨/m3 =2*103 kg/ m3；得矸石体积为1.5q*106 m3/年， t年后矸石的体积的增加为 V(t)=1.5qt*106 m3. 令V(h)=V(t) Þ h(t)=124.1(qt)1/3m. 代入S=2.345h2m2Þ S(t)=59.77(qt)2/3亩. 这样可得20年后矸石高与占地面积分别为h(20)=337.1q1/3m,S(20)=440.4q2/3亩. 取p=0.1，得h(20)=162m,S(20)=102亩. 2.1.3征地计划 因为地价年涨幅为10%高于银行贷款利率5%，所以应在开始时一次性征地，所缺资金向银行贷款. 取p=0.1，征地费为Q=8*102=816万元. 2.2 堆积矸山的电费 2.2.1 运矸车的机械效率 记运矸车行至高为xm时的坡道行程为l， 则l=x/sinβ， 运矸车的机械效率为 η（x）=0.3(1-0.02)l/10=0.3*0.98x/(10 sinβ)=0.3*e-0.00478x. 堆积到高度为h的机械功为J(h)= . 由c=2*103 kg/ m3,V(x)=0.784 x3m3, g=9.8m/s2， Þ J(h)=1.537*105 e-0.00478xdxJ, =1.537*105[(h3b3-3 h2b2+6hb-6) ebh+b]/b4, (b=0.00478). 2.2.2 电费 按1度电=3.6*106J， 和0.5元/度，由h(t)=124.1(qt)1/3m，与上式得从开始到t年的电费. 当p=0.1,t=1，到t=20年的分年度电费（单位：万元） k(t)=0.5*10-4[J(h(t))-J(h(t-1))]/ 3.6*106J如下： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k(t) 8.50 14.25 18.00 21.09 23.82 26.32 28.64 30.83 32.92 34.93 t 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k(t) 36.86 38.73 40.55 42.33 44.07 45.77 47.44 49.08 50.69 52.28 2.3 总费用 为了与所给经费比较，将它们都按利率5%折合成现值，20年总电费K与总经费投入S分别为K= =404万元；S=100 =1269万元；20年总电费K与总征地费Q=816万元的和为1220万元，未超出总经费投入S. 3 结论 开始时按10%的出矸率为20年堆积矸石征地102亩，不足经费向银行贷款，以后每年用当年经费缴电费并还贷款，20年经费够用. 若堆积两个矸石山，每10年一个，不难算出，征地513*2=1026万元，电费为185*2=370万元，总费用为1396万元.

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