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“千僖难题”之七:贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾 经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正 如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一 般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷 通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特 别是,这个有趣的猜想认为,如果z
(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z( 1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
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