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对于复变函数f(z)=u+iv，其中u=u(x,y),v=v(x,y),z=x+iy，则复变函数积分 ∫f(z)dz=∫（u+iv）(dx+idy)=∫（udx-vdy）+i∫（vdx+udy），从而转化为两个对坐标。
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。
扩展资料：
复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ（z）。
这个记号表示，ƒ（z）是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ（z）可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)。
参考资料来源：百科-复变函数
复变函数步骤
基本知识： 1.复数的表示法为z=x+iy，其中x为复数的实部，y为复数的虚部，若两复数相等，则两复数的实部、虚部分别相等. 2.欧拉公式：cost+isint=e^(it) 由z=(1+i)t=t+it 得：x=t,y=t 即直线y=x 由z=acost+ibsint，得x=acost,y=bsint，即cost=x/a,sint=y/b.两式平方相加得：（x/a）^2+(y/b)^2=(cost)^2+(sint)^2，而（cost）^2+(sint)^2=1，所以（x/a）^2+(y/b)^2=1，即椭圆（x/a）^2+(y/b)^2=1 显然，x=t,y=1/t，即t=1/y，所以x=1/y，即双曲线xy=1 由欧拉公式：原式=r(cost+isint)+a=rcost+irsint+a=(rcost+a)+isint， 所以x=rcost+a,y=rsint 即cost=(x-a)/r,sint=y/r，两式平方相加，得（（x-a）/r)^2+(y/r)^2=(cost)^2+(sint)^2=1，即以（a,0）圆心、以r为半径的圆（x-a）^2+y^2=r^2
复变函数
设复平面上一曲线C由参数方程z=z(t)给出，现在考虑曲线C在函数f(z)下的像，它也是一条曲线，记为C'，其方程为z'=f[z(t)]。对于同一参数t0，对应于分别位于C和C'上的点z0和z0'，两条曲线分别在这两点处的切线一般是不同的，它们之间的夹角称为C在f(z)映射下在z0处的转动角。再考虑在C上取一邻近z0的另一点z1，设曲线C上z0到z1之间的一段弧的长度为Δs，相应地曲线C'上f(z0)和f(z1)之间的弧长为Δs'，则极限limΔs'/Δs称为曲线C在f(z)映射下z0处的伸缩率。可以证明，如果f(z)在z0处解析，且f'(z0)≠0，则该点处的转动角等于Argf'(z0)，伸缩率等于|f'(z0)|。注意转动角和伸缩率都与曲线C的形状无关，称为保角性和伸缩率不变性，同时把具有这两种不变性的映射称为共形映射。
大学复变函数
所谓的“像”就是函数值或者值域 w=u+iv=z^2+iz=(x^2-y^2)+2xyi+i(x+iy)=(x^2-y^2-y)+i(2xy+x) u=x^2-y^2-y,v=2xy+x
(1)对于z=2-i，有w=4-2i
(2)对于曲线z=t^2+2it（其中t是实数），有x=Re(z)=y^2/4=Im(z)^2/4 所以w=(y^4/16-y^2-y)+i(y^3/2+y^2/4) 那么u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4 所以曲线在W的像为{（u,v）|u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4,y∈R} [注：其实把u写成v的函数或者倒过来，在这个题是不可行的，因为u和v都是关于y的高次函数（方程），而且函数不是单调的，所以用u或者v来表示y都是不可行的] （3）闭区域D={x+yi|0≤y≤sqrt(1-x^2),x∈R}={re^it|0≤r≤1,0≤t≤π} 所以其在W中的像为 {x+yi|x=r^2*cos2t-rsint,y=r^2*sin2t+rcost,0≤r≤1,0≤t≤π} 目测也不能再化简了
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