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高中数学导数的定义，公式及应用总结

1、导数的定义： 当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率）. 函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0〔x0,f(x0)〕 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性）的法则：设y=f(x )在（a,b）内可导。如果在（a,b）内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a,b）内，f'(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性） ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围.当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)2.函数的极值

（1）函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值. 3.求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 4.函数的最值

（1）如果f(x)在〔a,b〕上的最大值（或最小值）是在（a,b）内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在（a,b）内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在〔a,b〕的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念.

（2）求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在（a,b）内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 5.生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题.

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