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任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c),
p=(a+b+c)/2,a.b.c，为三角形三边。
证明：
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得：
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a* =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理：△ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a *
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab*sinC
此时S = ab*sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = * y ①
同理r = * z ② r = * x ③
①*②*③，得： r3 = *xyz
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