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过原点作平面曲线y=根号下（x-1）【的切线】，求该曲线和切线与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积。

y=√（x-1） ===> y'=(1/2)*[1/√（x-1）]

设切点为（xo，√（xo-1）)

则切线斜率为k=y'(xo)=(1/2)*[1/√（xo-1）]

所以，切线方程为：y-√（xo-1）=(1/2)*[1/√（xo-1）]*(x-xo)

该切线经过原点（0,0）

所以：-√（xo-1）=(1/2)*[1/√（xo-1）]*(-xo)

解得：xo=2

所以，切点为（2,1）

曲线y=√（x-1）与x轴的交点为（1,0）

所以，该旋转体的体积=圆锥体体积-曲面圆锥体体积

=(1/3)π*1^2*2-∫<1,2>；πy^2*dx

=(2π/3)-π*∫<1,2>(x-1)dx

=(2π/3)-π*[（1/2）x^2-x]|<1,2>

=(2π/3)-（π/2）

=π/6.

旋转体的表面积=圆锥体的侧面积+曲面圆锥体体的侧面积

=π*r*l+∫<1,2>2πf(x)*√（1+y'^2）dx

=π*1*√5+2π*∫<1,2>；√（x-1）*√[1+(1/4)*1/(x-1)]dx

=√5π+2π*∫<1,2>(1/2)*√（4x-3）dx

=√5π+（1/4）π*∫<1,2>；√（4x-3）d(4x-3)

=√5π+（1/4）π*（2/3）*(4x-3)^(3/2)|<1,2>

=√5π+（π/6）*(5√5-1).

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