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证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式．
例1证明Ｃｎｍ＝Ｃｎｍ－1＋Ｃｎ－1ｍ－1．
分析：原式左端为ｍ个元素中取ｎ个的组合数．原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素ａ1，有Ｃｎｍ－1种取法．一类为必取ａ1有Ｃｎ－1ｍ－1种取法．由加法原理可知原式成立．
例2证明Ｃｎｍ·Ｃｐｎ＝Ｃｐｍ·Ｃｎ－ｐｍ－ｐ．
分析：原式左端可看成一个班有ｍ个人，从中选出ｎ个人打扫卫生，在选出的ｎ个人中，ｐ人打扫教室，余下的ｎ－ｐ人打扫环境卫生的选法数．原式右端可看成直接在ｍ人中选出ｐ人打扫教室，在余下的ｍ－ｐ人中再选出ｎ－ｐ人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的．
以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2，当然，很多情况下是两者结合使用的．
例３证明Ｃｋｍ＋ｎ＝Ｃ０ｍＣｋｎ＋Ｃ1ｍＣｋ－1ｎ＋Ｃ2ｍＣｋ－2ｎ＋…＋ＣｋｍＣ０ｎ，其中当ｐ＞ｑ时Ｃｐｑ＝０．
证明：原式左边为ｍ＋ｎ个元素中选ｋ个元素的组合数．今将这ｍ＋ｎ个元素分成两组，第一组为ｍ个元素，剩下的ｎ个元素为第二组，把取出的ｋ个元素，按在第一组取出的元素个数ｉ（ｉ＝０，1，2，…，ｋ）进行分类，这一类的取法数为ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．于是，在ｍ＋ｎ个元素中取ｋ个元素的取法数又可写成?ｋｉ＝０ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．故原式成立．
例４证明
Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋1＋Ｃｎｎ＋2＋…＋Ｃｎｎ＋ｍ＝Ｃｎ＋1ｎ＋ｍ＋1．
证明：原式右边为ｍ＋ｎ＋1个元素中取ｎ＋1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1，2，３，…，ｍ＋ｎ，ｍ＋ｎ＋1，共ｍ＋ｎ＋1个数中取ｎ＋1个数．将取出的ｎ＋1个数ａ1，ａ2…，ａｎ＋1由小到大排列，即设ａ1＜ａ2＜ａｎ＋1，按取出的最大数ａｎ＋1＝ｋ＋1分类，显然ｋ＝ｎ，ｎ＋1，…，ｎ＋ｍ．当ｋ＝ｎ＋ｉ时（ｉ＝０，1，2，…，ｍ），这一类取法数为Ｃｎｎ＋ｉ，所以取法总数又等于?ｍｉ＝０Ｃｎｎ＋ｉ．原式成立．<<<123>>>
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