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若函数f(x)在其定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。

这句话是对的。不连续也是至多一个0点。

但是，f(x)在定义域上连续时，才能准确判断0点。

先证明f(x)单调f'(x)=a^xlna+3/(x+1)^2>0

间断点x=-1，所以分段递增

x→-1（右极限），f(x)→+∞

x→-1（左极限），f(x)→-∞

所以分两段考虑

x→-∞，f(x)→0，所以在（-∞，-1）,f(x)>0恒成立，无根

再考虑（-1，+∞）

要使f(x)在（-1,0]上有根

必须满足f(x)≥0，而f(0)=-1

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