[初中开学国旗下讲话针对各个年级的期望]各位老师，同学们你们好： 我们带着希望又踏上了新的征程，新一天带着微笑和清新在大地上降临，也许，你昨天曾拥有辉煌，但那已成为枕为一段甜蜜的回味；也许，你昨于曾遭受挫折，但那已成为...+阅读

设X=n+k，即n个“合格品”和k个“不合格品”。那么，n服从“负二项分布”，即 P(n=i) = C(i+k-1, k-1) x p^k x (1-p)^i.这个分布的均值和方差分别是 E(n) = k(1-p)/p; D(n) = k(1-p)/p^2. 所以， X的均值和方差分别是 E(X) = E(n)+k = k(1-p)/p + k; D(X) = D(n) = k(1-p)/p^2. 负二项分布 当r是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，其概率质量函数为 它表示，已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。

p{X=k} = f(k;r,p) = (k+r-1)!/[k!(r-1)!]p^r(1-p)^k, k=0,1,2,..., 0正无穷)kf(k;r,p) = sum(k=1->正无穷)k(k+r-1)!/[k!(r-1)!]p^r(1-p)^k = sum(k=1->正无穷)（k+r-1）!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k = r(1-p)/p*sum(k=1->正无穷)（k-1 + r+1 -1）!/[(k-1)!(r+1 -1)!]p^(r+1)(1-p)^(k-1)【把k-1看做1个整体，r+1看做1个整体，p和（1-p）的指数凑成（k-1）和（r+1）的形式】 = r(1-p)/p*sum(n=k-1=0->正无穷)（n+s-1）!/[n!(s-1)!]p^s(1-p)^n【n=k-1,s=r+1】 = r(1-p)/p*sum(n=0->正无穷)f(n;s,p) = r(1-p)/p*1【由归一性，sum(n=0->正无穷)f(n;s,p)=1】 = r(1-p)/p EX^2 = sum(k=0->正无穷)k^2f(k;r,p) = sum(k=1->正无穷)k^2(k+r-1)!/[k!(r-1)!]p^r(1-p)^k = sum(k=1->正无穷)k(k+r-1)!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k = sum(k=1->正无穷)（k-1+1）(k+r-1)!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k = sum(k=1->正无穷)（k-1）(k+r-1)!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k + sum(k=1->正无穷)（k+r-1）!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k sum(k=1->正无穷)（k+r-1）!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k =EX= r(1-p)/p sum(k=1->正无穷)（k-1）(k+r-1)!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k =sum(k=2->正无穷)（k-1）(k+r-1)!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k =sum(k=2->正无穷)（k+r-1）!/[(k-2)!(r-1)!]p^r(1-p)^k =r(r+1)(1-p)^2/p^2sum(k=2->正无穷)（k-2 + r+2 -1）!/[(k-2)!(r+2 -1)!]p^(r+2)(1-p)^(k-2) =r(r+1)(1-p)^2/p^2sum(n=k-2=0->正无穷)（n+s-1）!/[n!(s-1)!]p^s(1-p)^n 【n=k-2,s=r+2】 =r(r+1)(1-p)^2/p^2sum(n=0->正无穷)f(n;s,p) =r(r+1)(1-p)^2/p^2, EX^2 = sum(k=1->正无穷)（k-1）(k+r-1)!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k + sum(k=1->正无穷)（k+r-1）!/[(k-1)!(r-1)!]p^r(1-p)^k = r(r+1)(1-p)^2/p^2 + r(1-p)/p DX = EX^2 - (EX)^2 = r(r+1)(1-p)^2/p^2 + r(1-p)/p - [r(1-p)/p]^2 = [r(r+1)(1-p)^2 + rp(1-p) - r^2(1-p)^2]/p^2 = r(1-p)[(r+1)(1-p) + p - r(1-p)]/p^2 = r(1-p)[1-p + p]/p^2 = r(1-p)/p^2 几何分布 p{X=k} = p(1-p)^(k-1), k=1,2,...,0正无穷)x^k = 1/(1-x), 0正无穷)kx^(k-1) = [1/(1-x)]' = 1/(1-x)^2, EX = sum(k=1->正无穷)kp(1-p)^(k-1) = psum(k=1->正无穷)k(1-p)^(k-1)= pg'(1-p) = p/[1-(1-p)]^2 = p/p^2 = 1/p,EX^2 = sum(k=1->正无穷)k^2p(1-p)^(k-1) = sum(k=1->正无穷)k(k-1)p(1-p)^(k-1) + sum(k=1->正无穷)kp(1-p)^(k-1) = sum(k=1->正无穷)k(k-1)p(1-p)^(k-1) + EX g''(x) = sum(k=1->正无穷)k(k-1)x^(k-2) = [1/(1-x)^2]' = 2/(1-x)^3 EX^2 = sum(k=1->正无穷)k(k-1)p(1-p)^(k-1) + EX= p(1-p)sum(k=1->正无穷)k(k-1)(1-p)^(k-2) + EX= p(1-p)g''(1-p) + 1/p= p(1-p)*2/[1-(1-p)]^3 + 1/p= 2(1-p)/p^2 + 1/p DX = EX^2 - [EX]^2 = 2(1-p)/p^2 + 1/p - (1/p)^2 = 1/p^2 - 1/p = (1-p)/p^2

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