高考文科数学的数列求和问题

[关于数学数列的题]Sn= 2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 +……+ n*2^n …………1 2Sn= 2^2 + 2*2^3 + 3*2^4 +……+ n*2^(n+1) …………2 2式减去1式得 Sn = n*2^(n+1) - (2^1 + 2^2 + 2^3 + …… + 2^n)...+阅读

叠加法

若数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2，。。。是以1为首相，3为公比的等比数列，则an______

解：因为数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2...是以1为首相，3为公比的等比数列

所以a1=1,an-a(n-1)=1*3^(n-1)=3^(n-1)(n≥2)

由叠加法有：

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+...+(an-a(n-1))

=1+3+3^2+...+3^(n-1)

=1*(1-3^n)/(1-3)

=(3^n-1)/2

裂项求和

数例{An}的通项An=n(n+1)分之2，则其前10项的和S10=?

解：An=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]

所以S10=A1+A2+...+A3

=2[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/10-1/11)]

=2(1-1/11)

=20/11

分组求和

已知数列{bn}=n(n+1)，求数列{bn的前n项和Sn

解：bn=n(n+1)=n^2+n

Sn=b1+b2+...+bn

=(1^2+1)+(2^2+2)+...+(n^2+n)

=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

错位相减法

已知数列{a_n}，其通项公式为a_n=n/2^n,n∈N，求这个数列的前n项和Sn

解：利用错位相减法

因为an=n/2^n

所以Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n....(1)

所以Sn/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+n/2^(n+1)....(2)

(1)-(2)得Sn/2=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n/2^(n+1)=(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^(n+1)=1-1/2^n-n/2^(n+1)

所以Sn=2-1/2^(n-1)-n/2^n

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