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数学和导数有关的题

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第一问分离参数a 第二问构造函数

(1)首先,f'(x)=lnx 1/x,然后代入不等式,有xlnx 1≤x^2 ax 1,因为x>0,化简得a≥lnx-x,构造函数F(x)=lnx-x,F'(x)=1/x-1,判断出单调性为x在(0,1)单调递增,在(1,正无穷)上单调递减,所以F(x)的最大值为F

(1)=-1,由含a的不等式知,a大于F(x)的最大值,因此a≥-1

(2)我试过运用构造:g(x)=(x-1)f(x)多次求导来判断单调性从而证明该结论,但该方法证明不了 现在告你另一种方法:讨论法 令g(x)=f'(x)=lnx 1/x,可知g'(x)=(x-1)/x的平方,可判断x在(0,1)单调递减,在(1,正无穷)上单调递增,所以g(x)≥g

(1)=1>0,即f'(x)>0,因此f(x)单调递增,而f

(1)=0,可知x在(0,1)时,f(x)0,x=1时,f(x)=0 综上所述,当x在(0,1)时,x-1

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