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“千僖难题”之七：贝赫（Birch）和斯维讷通-戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾 经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正 如马蒂雅谢维奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一 般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷 通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特 别是，这个有趣的猜想认为，如果z

(1)等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z( 1)不等于0，那么只存在有限多个这样的点。

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