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高中数学题推理

01月10日 编辑 39baobao.com

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(1)f′(x)=1-cosx

当00

故f(x)在(0,1)上单调递增

故当0f(0)=0,f(x)用数学归纳法证明

a2=f(a1)=a1-sina1

因0a2-a1=a1-sina1-a1=-sina1即a2即得0这样n=1时不等式0假设n=k时成立即有0当n=k+1时

a(k+2)=f(ak+1)=a(k+1)-sina(k+1)

因0a(k+2)-a(k+1)=a(k+1)-sina(k+1)-a(k+1)=-sina(k+1)即a(k+2)即得0故n=k+1时也成立

故对任意正整数n,有0(2)要证an+1即证an-sinan即证1/6an^3-an+sinan>0

令g(x)=1/6x^3-x+sinx

g′(x)=1/2x²-1+cosx

g〃(x)=x-sinx

易知当00

即g′(x)在(0,1)上单调递增

又g′(0)=0

故当00

即g(x)在(0,1)上单调递增

故当00

因0故g(an)>0

即1/6an^3-an+sinan>0

故原命题an+1

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