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最速降线的挑战： 伯努利兄弟在他们时代的数学中留下了深刻的印记，其中包括调和级数和许多其他贡献。但是，关于这对相互竞争，难以相处的兄弟，还必须要告诉读者另一个故事，它肯定是在整个数学史中最引人入胜的一则故事。 故事开始于1696年6月，其时，约翰·伯努利在莱布尼兹的杂志《教师学报》上刊登了一个挑战问题。显然，公开挑战的传统是从菲奥尔和塔尔塔利亚时代开始的。

虽然现在的论争是在学术杂志上安静地进行笔战，但却依然有力量成就或摧毁一个人的声望，正如约翰自己所述： “……肯定地说，正是摆在我们面前的那些困难同时也是有用的问题，激发着出类拔萃之辈为丰富人类的知识而奋斗，他们也因此一举成名，流芳百世。” 约翰提出的挑战很精彩。他设想在地面上不同高度的两个点A和B，并且，不要让其中一个点直接位于另一点的上方。

连接这两个点，当然可以作出无限多的不同曲线，从直线、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线。现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚向较低的B点。当然，球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状。伯努利向数学界提出的挑战是，找出一条曲线AMB，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短他称这条曲线为“最速降线”，这个词是从希腊文的“最短”和“时间”两个词合成而来的。

显然，第一个猜想是连接A、B两点作直线AMB。但是，约翰对试图采用这一过于简单化的方法提出了警告： “……不要草率地作出判断，虽然直线AB的确是连接A、B两点的最短线路，但它却不是所用时间最短的路线。而曲线AMB则是几何学家所熟知的一条曲线。如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线，我将公布这条曲线的名称。” 约翰定于1697年1月1日向数学界公布答案。

但是，到最后期限截止时，他只收到了“著名的莱布尼兹”寄来的一份答案，并且，莱布尼兹 “谦恭地请求我延长最后期限到复活节，以便在公布答案时……没有人会抱怨说给的时间太短了。我不仅同意了他的请求，而且还决定亲自宣布延长期限，看看有谁能够在这么长时间之后最终解出这道绝妙的难题。” 然后，为确保不会使人误解这道难题，约翰又重复了一遍： “在连接已知两点的无限多的曲线中……选择一条曲线，如果用一根细管或细槽代替这条曲线，把一个小球放入细管或细槽中，放手让它滚动，那么，小球将以最短的时间从一点滚向另一点。

” 此时，约翰开始热心鼓吹奖励解出他的最速降线问题的人。不要忘记，他自己是知道答案的，如此一来，他关于数学荣誉的一段话就不免有自诩之嫌： “但愿有人能够迅速摘取桂冠。当然，奖品既非金，也非银，因为这些东西只能引起卑贱者的兴趣……相反，由于美德本身就是最好的奖励，而名望又是最强的刺激，所以，我们为高贵的得胜者所颁发的奖励是荣誉、赞颂和认可……” 在这段话中，似乎约翰认为自己面对他可怜的哥哥雅各布，又一次赢得了胜利。

但是，在他心里还有另外一个目标。约翰写道： “……很少有人能够解出我们独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的疆域的人。这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了。” 还有谁能怀疑他所说的“定理”就是指的流数法，他所蔑视的目标就是艾萨克·牛顿呢？牛顿曾宣称早在莱布尼兹1684年发表微积分论文之前就已发现了这一理论。

无疑，约翰的挑战目标非常明确，他把他的最速降线问题抄了一份，装进信封，寄往英国。 当然，1697年，牛顿正在忙于造币局的事务，而且，正如他自己所承认的那样，他的头脑已不似全盛期时那样机敏了。当时，牛顿与他的外甥女凯瑟琳·康迪特一起住在伦敦。凯瑟琳记述了这样的故事： “1697年的一天，收到伯努利寄来的问题时，艾萨克·牛顿爵士正在造币局里忙着改铸新币的工作，直到四点钟才精疲力尽地回到家里，但是，直到解出这道难题，他才上床休息，这时，正是凌晨四点钟。

” 即使是在晚年，并且，是在经过一天紧张的工作而感到精疲力竭的情况下，艾萨克·牛顿仍然成功地解出了众多欧洲人都未能解出的难题！由此可见这位英国伟大天才的实力。他清楚感觉到他的名望与荣誉都受到了挑战；而且，伯努利和莱布尼兹毕竟都还在急切地等待着公布他们自己的答案。因此，牛顿当仁不让，仅仅用几个小时就解出了这道难题。

然而，牛顿有些被激怒了，据说他曾言道：“在数学问题上，我不喜欢……给外国人……戏弄。” 我们再回到欧洲。复活节将近的时候，几份答案寄到了约翰·伯努利的手里。他们每个人所寻求的曲线都是一条颠倒了的旋轮线，而这的确“是几何学家所熟知的一条曲线”。我们注意到，帕斯卡和惠更斯就曾研究过这一重要曲线，但他们谁也没有认识到旋轮线还是一条最快的下降曲线。

约翰以一种夸张的口吻写道：“……如果我明确说出惠更斯的……这一旋轮线就是我们所寻求的最速降线，你们一定会惊呆了。” 到复活节时，挑战期限截止。约翰一共收到了五份答案。其中包括他自己的答案和莱布尼兹的答案。他的哥哥雅各布寄来了第三...

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