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数学史的论文参考范文篇1

浅谈流形概念的演变与理论发展

一、引 言

流形是 20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。 在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。 从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是软 的， 因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形(该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入)的原因。

流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题? 是如何解决的? 谁解决的? 形成了什么理论?这是几何史的根本问题。 目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、 细致的分析，并对上述问题给予解答。

二、流形概念的演变

流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)的内蕴几何思想 ,黎曼(C.F.B.Riemann,1826-1866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。 随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义， 最终外尔(H.Weyl,1885-1955)给出了流形的严格数学定义。

1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系

十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。 1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长， 并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。 高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影， 这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各 3或 1.5经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上， 然后将椭圆柱面展开成平面。

采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。 当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的， 并且相邻投影带的坐标可以进行换算。 这种绘制地图的方式给出了流形这个数学概念的雏形。

大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。 由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。 高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》 使他获得了 1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。 高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：这些结果为重大的理论铺平了道路。 〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。

全面展开高斯的内蕴几何思想的是他 1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式;第二，测地三角形内角和不一定等于 180，它依赖于三角形区域的曲率积分。 高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标(u,v)表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。 突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致? 这是高斯的几何的基础。 高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。

2. 黎曼的关于几何基础的假设

黎曼在 1851 年的博士论文 《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。 在高斯的几何思想和赫巴特(J.F.Herbart,1776-1841)的哲学思想的影响下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。

黎曼在开篇中提到：几何学事先设定了空间的概念， 并假设了空间中各种建构的基本原则。 关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。 这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此之间的关系尚属一篇空白;我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。 从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。 这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。 因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：

建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。 黎曼为什么要建立空间的概念? 这与当时非欧几何的发展有很大关系。 罗巴切夫斯基(N.L.Lobatchevsky,1793-1856) 和波约 (J.Bolyai,1802-1860) 已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。 然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何;并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了 n 维流形的概念。 他称 n 维流形为 n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。 用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。 黎曼是如何构造流形呢?他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过 n 维流形同一维流形递归地构造出来的; 反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。 这样每一个 n 维流形就有 n 个自由度，流形上每一点的位置可以用 n 个数值来表示，这 n 个数值就确定了一个点的局部坐标。 黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。 赫巴特在《论物体的空间》中提到：

从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。 〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了 n 维流形， 这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。 从本质上讲， 黎曼的 流形 概念与当时格拉斯曼 (H. G.Grassmann,1809-1877) 的 扩张 概念和施莱夫利(L. Schlafli,1814-1895)的 连续体 概念基本一致 .〔6〕83流形应具有哪些特征呢? 黎曼提到：

把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块(Quanta)，这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。 测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。 〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，参与比较的量能够迭加则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准， 即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为 n 维流形局部与 n 维欧氏空间的同胚。 黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。 他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。 进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。 曲面上的度量概念， 等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。 自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。

3. 希尔伯特的公理化方法

从 19 世纪 70 年代起，康托尔(G. Cantor,1845-1918)通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。 康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。 希尔伯特在 1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形(希尔伯特称之为平面， 而把欧氏平面称为数平面)，提出了二维流形的公理化定义：

平面是以点为对象的几何， 每一点 A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。

(1) 一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。 这个单连通区域称为邻域的像。

(2)含于一个邻域的像之中而点 A 的像在其内部的每个单连通区域， 仍是点 A 的一个邻域的像。若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。

(3)如果 B 是 A 的一个邻域中的任一点 ,则此邻域也是 B 的一个邻域。

(4)对于一点 A 的任意两个邻域 ,则存在 A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。

(5)如果 A 和 B 是平面上任意两点 ,则总存在A 的一个邻域它也包含 B.

〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，(1)和(2)意味着在平面

(二维流形)的任意一点的邻域到数平面(欧氏平面)的某单连通区域上都能建立同胚映射。 (3)-(5)意图是要在平面

(二维流形)上从邻域的角度建立拓扑结构。 希尔伯特的定义延续了黎曼指明的两个方向：流形在局部上是欧氏的(这一点黎曼已经以量块迭加的方式提出)，在整体上存在一个拓扑结构。 这个拓扑结构希尔伯特显然要以公理的方法建立 (这一工作后来由豪斯道夫完成，豪斯道夫发展了希尔伯特和外尔的公理化方法，在 1914 年的着作《集论基础》 中以邻域公理第一次定义了拓扑空间)，〔13〕249但与豪斯道夫的邻域公理相比， 他的定义还不完善，比如(3)中描述的实际上是开邻域。 另外，他没有提流形须是一个豪斯道夫空间。希尔伯特已经勾勒出流形的基本框架，随着拓扑学的发展，外尔完善了希尔伯特的工作，给出了流形的现代形式的定义。

4. 外尔对流形的现代形式的定义

外尔是希尔伯特的学生，是二十世纪上半叶最伟大的数学家、物理学家和哲学家之一。 从 1911 到1912 年，外尔在哥廷根大学开设一门黎曼函数论的课程，他发现黎曼面还没有一个恰当的定义，以前的研究都依靠直观，许多证明也不严格，于是他决心利用希尔伯特公理化的方法改造函数论，这首先要给黎曼面一个严格的、内在的拓扑定义。〔14〕63外尔在查阅了希尔伯特的论文后，并利用了布劳威尔(L.E.Brouwer,1881-1966)关于 n 维空间的开集间的双连续映射下的维数不变性的结果， 于 1913 年首先在他的名着《黎曼面的思想》中内在地定义了二维流形，这成为日后定义微分流形的基础。

下面是外尔给出的二维流形的定义：

定义： 称 F 是一个二维流形， 若满足以下条件：

(a) 给定一个称为流形 F 上的点的集合，对于流形 F 中的每一点 p,F 的特定的子集称为 F 上点 p 的邻域。点 p 的每一邻域都包含点 p,并且对于点 p 的任意两个邻域，都存在点 p 的一个邻域包含于点 p 的那两个邻域中的每一个之内。 如果 U0是点 p0的一个邻域，并且点 p 在 U0内，那么存在点 p的一个邻域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的两个点， 那么存在 p0的一个邻域和 p1的一个邻域使这两个邻域无交，也就是这两个邻域没有公共点。

(b) 对于流形 F 中每一定点 p0的每一个邻域U0,存在一个从 U0到欧氏平面的单位圆盘 K0(平面上具有笛卡尔坐标 x 和 y 的单位圆盘 x2+y21)内的一一映射，满足(1)p0对应到单位圆盘的中心;(2)如果 p 是邻域 U0的任意点，U 是点 p 的邻域且仅由邻域 U0的点组成， 那么存在一个以 p 的像 p作为中心的圆盘 K, 使得圆盘 K 中的每一点都是 U中一个点的像;(3)如果 K 是包含于圆盘 K0中的一个圆盘，中心为 p，那么存在流形 F 上的点 p 的邻域 U,它的像包含于 K. 〔15〕17可以看出，(a)从邻域基的角度定义了 F 是一个豪斯道夫空间。 (b)中的映射为一一的、双向连续的(即同胚)映射，这样(b)定义了 F 中任意一点都有一个邻域同胚于欧氏空间中的一个开集。 外尔给出的这个定义正是现代形式的流形的定义，尽管外尔的定义是针对二维的情形，但本质上给出了流形精确的数学语言的定义， 并且推广到高维没有任何困难。

一般认为，高维流形的公理化定义由维布伦(O.Veblen,1880-1960) 和 怀 特 黑 德 (A.N.Whitehead,1861-1947)于 1931 和 1932 年给出，即把流形作为带有最大坐标卡集和局域坐标连续以及各阶可微变换的点集。 实际上，这种看法没有足够重视外尔1919 年对黎曼讲演的注释， 特别是未能利用外尔1925 年的长文《黎曼几何思想》。 事实上，除了未对高阶微分结构予以明确区分外，外尔的注释和长文中实质上包含了高维微分流形的定义。

三、流形理论的发展

我们上面提到的流形指拓扑流形，它的定义很简单，但很难在它上面工作，拓扑流形的一种---微分流形的应用范围较广。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧氏空间中曲线和曲面概念的推广。 可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)，对微分流形上不同的几何结构的研究就形成了微分几何不同的分支。 常见的有：

1. 黎曼度量和黎曼几何

仿紧微分流形均可赋予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度、面积、体积等几何量，这种几何称为黎曼几何。黎曼这篇《关于几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。 大约在 1925 年霍普夫(H.Hopf,1894-1971)才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是嘉当(J.Cartan,1869-1951)在 20世纪 20 年代开创并发展了外微分形式与活动标架法， 李群与黎曼几何之间的联系逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。

2. 近复结构和复几何

微分流形 M 上的一个近复结构是 M 的切丛TM 的一个自同构，满足 JJ=-1. 如果近复结构是可积的，那么就可以找到 M 上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数， 这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。

3. 辛结构和辛几何

微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。 与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。 辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。

四、结 语

以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯---黎曼---希尔伯特---外尔。 导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间---流形上的几何。 流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，特别是邻域公理的建立密不可分，(微分) 流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。 所以说，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。

参考文献

〔1〕 陈惠勇。流形概念的起源与发展[J].太原理工大学学报，2007(3)：53-57.

〔2〕 D.J.Struik.Outline of a History of Differential Geometry[J].Isis,1933(20)：161-191.

〔3〕 E.Scholz.The concept of manifold,1850 -1950 [C] I.M.James.History of Topology.Amsterdam:Elsevier Science Publisheres,1999:25-64.

〔4〕 [德]莫里斯克莱因。古今数学思想：第三册[M].万伟勋，石生明，孙树本，等，译。上海：上海科学技术出版社，2003.数学史的论文参考范文篇2

浅析清末民国对数教育情况

6 至 17 世纪，各学科知识高速发展，尤其是天文、航海及近代力学需要进行大量数学计算。为简化运算，提高运算速度，许多数学家花费了大量心血。 苏格兰数学家纳皮尔等人通过多年的研究，发明了 对数. 这一发明影响深远，它不仅使 天文学家寿命倍增[1]137( 拉普拉斯语) ,也使伽利略 利用时间、空间和对数，就可创造一个宇宙[2]1,更不愧于恩格斯将其列为 17 世纪三大数学发现之一。

一、清末对数教育情况

清末从同治元年( 1862)京师同文馆设立起，至辛亥革命( 1911)推翻清政府止，数学教育近代化经历了近五十年的历程。 在此过程中，前期表现为数学课程普遍设置并进行了教学方法的改革，后期主要是学制的颁布与实施及教育行政机构的设立。 1867 年，京师同文馆增设天算馆。 由于没有颁布相应的教学大纲或课程标准，但根据《 同文馆题名录》所载课程( 1876)及同文馆活字本《 算学课艺》的内容可推断其课程包括代数学、平三角、弧三角等。 据《 同文馆算学课艺》( 1880)卷二中涉及对数题目 1 道。 第 46 题 瓜豆共生,该题与《 九章算术》中的 蒲莞共生, 两鼠对穿同类，但解法却不是应用盈不足术求解，而改用指数与对数求解[4]46. 此足可说明对数已成为京师同文馆的教学内容。

清末，教会学校盛行。 由传教士组织的 学校教科书委员会编译了大量数学教科书，其中《 笔算数学》、《 代数备旨》、《 形学备旨》、《 八线备旨》 、《 代形合参》 等书流传甚广，且编有细草，编者又不止一人。《 八线备旨》四卷，原着美国罗密士，美国传教士潘慎文选译，谢洪赉校录，1894 年出版， 美华书馆铅印本。 该书流传版本较多，以1898 年益智书会石印本为例，其凡例称：原本更有论对数与航海法各一卷都为六卷，但对数已经别译，而航海又嫌过略，不足以备学者观览，姑且从删;原本后对数、八线、弦切对数等以便检查[5]1. 此书共四卷，含平三角、量法、测地、弧三角形，是当时的三角学课本，多次重印，影响极大。

清代末期是中西数学的融合时期，数学的发展表现出两个方向：

一是西方变量数学的传入和研究;二是中国传统数学的继续研究。 这种情形在诸多算学课艺中有所反映， 其内容中不仅有中国传统数学的天元术、勾股术，也有西方传入的几何、平面三角、球面三角、指数、对数等。而对数部分内容教学分别散落于代数与三角教学中。即先从代数部分习得对数的相关概念及其运算法则，后由三角部分再习，主要是用于解三角形，以简化运算。 如《 平面三角法新教科书》所言，凡关于三角形问题之解决，而欲得其便捷之计算，莫若用对数[6]78.

三角学教科书方面，《 新撰平面三角法教科书》[7]33中第三编，对数之性质及用法。 介绍了对数定义，对数之性质，对数之指标之定义，对数之假数之定义，对数表之形，比例差，以对数算直角三形之法。《 平面三角法讲义》[8]86中第六编对数，第七编三角函数真数表及对数表。 虽采用了从左至右横排版，但其中的未知数 x,y,z 用甲、乙、丙代替，字母 A 用呷代替，字母 B 用口字旁加乙字代替，字母 C 用口字旁加丙字代替。 正弦等三角函数名称用正弦、余弦、正切等代替。 如 tanA 用正切呷代替。 全书用手写版，读起来似为天书。 依此看来， 数学符号的现代化进程也不是一蹴而就的， 其间也有反复。

《 三角法教科书》[9]1全书七编。第六编三角形之解法将正弦定理直接改为对数式，没有介绍对数的相关知识。 而在第七编之后专设 附录重点介绍了对数、对数表用法，三角函数对数表用法，三角函数表用法。 附录之后是附表，给出了 1- 2000 之五位对数表，十分飞三角函数对数表，十分飞三角函数表。 代数教科书方面，《 中学校数学教科书---代数之部》该书上卷五编，下卷九篇共十四编。其中第十二编为对数。分两章，第一章为对数，第二章为复利算，年利算。书中原序提到： 要目列对数于最后然实有须使早学者故置于级数之后. 学对数表之用法期间甚短若使学者另购对数表殊有未便乃附至 5000 之对数表于卷末而 5000 以上之对数表可依自 500 至 1000之对数表求得之故使学其用法足矣[10]1.

总之，清末时期的对数教育，主要是先从代数中讲授，继之以三角中讲授。 代数主要讲授对数、常用对数的定义，如何求一个数的对数，对数的运算法则，对数表的用法，用比例法求一个数的对数。 三角教科书在引入对数时主要基于以下理由：一是 凡数过大，演算时甚为困难，若用对数，则较为便利，用对数可实现加法代乘法，减法代除法，乘法代自乘，除法代开方[11]98. 二是 以对数解三角，大可省实算之劳，故须省对数之性质[12]38. 解三角之问题，便于计算，莫对数若。 对数之法，学者于代数学虽已知之。 然为应用计，兹再述其大略[13]78.

二、民国对数教育情况

1912 年，中华民国成立。 同年 9 月颁布《 中学校令》 规定中学校修业年限为四年。 12 月公布《 中学校令施行规则》，规定数学宜授以算术、代数、几何及三角法，女子中学校可减去三角法。 1913 年 3 月《 中学校课程标准》 中规定第一至三学年习代数，第四学年习平面三角大要。 1922 年颁布《 学校系统改革案》，规定中学校修业六年，分为初高两级，初级三年，高级三年。 1923 年《 新学制课程标准纲要》中规定，代数中习对数。三角中有边角互求，三角应用大意。《 高级中学第二组必修的三角课程纲要》中里面有对数与对数造表法，航海术等。《 高级中学第二组必修的高中代数课程纲要》中规定要学习对数、对数方程式、对数级数。 此后的 1929 年亦要求初中三年级代数课学习对数，三角中使用对数。 高中仍如 1923 年。 1932 年《 初级中学算学课程标准》中规定初中第三学年代数部分学习对数检查表及应用。将三角部分移至几可，并要求 三角之正式教授，宜移至高中，但三角应用极广，初中亦不可不知。故宜就实例入手，讲授三角函数定义，及三直角三角形解法，简易测量，余可从略[14]231. 1932 年《 高级中学算学课程标准》规定第一学年三角部分习对数，测量及航海方面之应用题。 第二学年代数中习对数，特性和应用。 应用题，造表法略论，表之精确度。 1936 年情形亦如上。

1941 年颁布的《 修正初级中学数学课程标准》 由于要 适应抗战建国之需要,教学时数有所减少，内容略有调整。 初中不再学习三角，代数也不再学习对数。 同年的《 修正高级中学数学课程标准》第一学年三角中学习对数理论及应用、三角函数表及三角函数对数表用法。 第二学年代数中习对数。 同年 9 月，颁布《 六年制中学数学课程标准草案》，规定六年制中学，不分初高中，各科全部课程，均采直径一贯之编配，并选成绩优良学校试点。 教材大纲中第三学年代数要求学习对数之特性及其应用，对数表。 第五学年习解任意三角形，测量及航海方面之应用题。

通过梳理近代以来对数教学情况可以得出以下结论。

一是对数作为数学知识引入中国课堂， 主要是学习外国的结果。从京师大学堂到癸卯学制，主要是传教士和中国数学家的贡献。这一时期，学习、研究的是西方传入的对数知识。 1904 年后，主要是学习日本。日本通过明治维新，国力日盛，并在甲午战争中获得了胜利。 晚清政府和国人意识到了科学教育的重要。 大量的留学生赶赴日本，学成之后回国，或着书立说，或投身教育，使得作为 西学的对数顺利进入中国课堂，并被大量学生学习。

二是对数运算知识主要在代数中学习，对数应用主要在三角中学习，并且初级中学和高级中学均有对数，直到 1941 年才全部移至高中，初中不再学习。翻阅大量的近代代数和三角教科书，我们会发现从对数的定义、性质到对数的使用，教科书的叙述和呈现方式基本相同，似有重复之感。 主要是近代的数学课程标准没有明确学习的程度，所以教学内容更多地依赖于教科书。 而教科书编写者秉承循环圆周法编辑教科书，宁可大而全也不肯少而精，主要是一本教科书往往要自成体系，同一知识多次出现在不同级别、不同种类

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提高学生数学语言表达能力《绘本的魔力》读后感数学语言是数学知识和数学思维的载体，学生要想学好数学，必须提高数学数学语言表达能力。目前，我所任教的班级孩子口头表达能力相对较弱，如何通过一定的训练提高孩子的口头表达能...

数学教学中“核心问题”的提炼与“再加工”小学数学教学中对 问题教学 研讨一直在进行，一方面是课程标准的实践诉求，另一方面也是教学中 问题解决 的迫切需要。那对于一线的数学教师而言，必然要回答这样的一个共性问题，即...

数学教学中课堂提问的重要性课堂提问是数学教学的形式要求。课堂提问是数学启发式教学的一种主要形式，也是进行有效教学的核心。数学教学呈现在课堂上有时就是一个问题教学，在教学中经常设置 问题串 的方...

浅谈数学分层教学的一些实践和体会在小学数学教学实践中，学生因为知识基础、学习能力、智力兴趣等方面的差异，对相同的学习内容，会出现有的学生 吃不饱 ，有的学生 吃不了 。针对这种情况，我们学校开展了 学习资源...