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关于勾股定理 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理.这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580-公元前500）. 实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例.除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角.但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑.比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理.我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实.”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数.这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库. 证明方法： 先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2 。图

（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 , b2）。图

（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2 勾股定理的历史： 商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期 西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：＂…故折矩，勾广三，股修四 ，经隅五.＂商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径 隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成＂勾三股四弦五＂.这就是著名的勾股定理. 关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：＂故禹之所以治天下者，此数之所由生也.＂＂此数＂指的是＂勾 三股四弦五＂，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的. 赵爽： •东汉末至三国时代吴国人 •为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截，割，拼，补来证明代数式之间的恒 等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的 独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明 勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中 体现出来的＂形数统一＂的思想方法，更具有科学创新的重大意义.事实上，＂形数统一＂的思想方法正 是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说：＂在中国的传统数学中，数量关系 与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思 想与方法在几百年停顿后的重现与继续.＂ 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：＂我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段 一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？＂ 商高回答说：＂数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理：当直角三角形'矩' 得到的一条直角边'勾'等于3，另一条直角边'股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5.这 个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。

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