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二次函数、二次方程及二次不等式的关系 重难点归纳 1 二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n (2)当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q) 若- 若p≤- 若x0≤- 若- ≥q，则f(p)=M,f(q)=m 2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件 （1）方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小 a??f(r)(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间（p,q）内有两根 （4）二次方程f(x)=0在区间（p,q）内只有一根 f(p)??f(q)(5)方程f(x)=0两根的一根大于p，另一根小于q(p3 二次不等式转化策略（1）二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是 （-∞，α ）∪[β，+∞ a(2)当a>0时，f（α）当a|β+ |；（3）当a>0时，二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立 或 （4）f(x)>0恒成立 典型题例示范讲解 例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证 两函数的图象交于不同的两点A、B;(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 错解分析 由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数” 技巧与方法 利用方程思想巧妙转化 （1）证明 由 消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ c2] ∵a+b+c=0,a>b>c，∴a>0,c∴ c2>0，∴Δ>0，即两函数的图象交于不同的两点 （2）解 设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=- ,x1x2= |A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c∴a>-a-c>c，解得 ∈（-2，- ） ∵ 的对称轴方程是 ∈（-2，- ）时，为减函数 ∴|A1B1|2∈（3,12），故|A1B1|∈（ ） 例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的范围 （2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解 （1）条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（-1,0）和（1,2）内，画出示意图，得 ∴ （2）据抛物线与x轴交点落在区间（0,1）内，列不等式组（这里0例3已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程 =|a-1|+2的根的取值范围 解 由条件知Δ≤0，即（-4a）2-4(2a+12)≤0，∴- ≤a≤2(1)当- ≤ax=-a2+a+6，∵-a2+a+6=-(a- )2+ ∴a=- 时，xmin= ,a= 时，xmax= ∴ ≤x≤ （2）当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+ )2- ∴当a=1时，xmin=6，当a=2时，xmax=12，∴6≤x≤12 综上所述， ≤x≤12
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