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解析几何是高中数学的一个分支，它是以解析几何的基本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面几何问题的学科，是衔接初等数学和高等数学的纽带，它本身侧重于数行结合和形象思维，综合了平面几何，代数，三角等知识。尤其是对圆锥曲线的研究方面，高度综合了二次方程，二次不等式和二次函数的有关知识，是一门综合性很强的学科。因而在解析几何教学中，特别是在解题过程中，当采用常规方法走不通或较繁时，如果引导学生采用一种易“变通”的方式，将一种语言“等价转化”为另一种语言，来刻画和展示命题的本质含义，就会找到更加巧妙的解题途径，从而提高学生的创新思维能力。在解析几何的学习中，要注意以下几个方面：
一、 方程与图形之间的转化
在解析几何中，二元二次方程AX2+BY2+DX+EY+F=0代表了圆、椭圆、双曲线、抛物线（直线是它的特殊形式）。因此可根据方程画出图形，反过来，又可根据图形研究其几何性质。
例题1、当m为何值时，方程1-X2=X+m①有两个根；②只有一个根。
解析：①令y=1-X2,y=X+m；方程有2个实数根的问题转化为曲线C1: y=1-X2与曲线C2: ,y=X+m的图像有2交点问题（如图1），曲线C1的图像是单位圆的上半圆，曲线C2的图像是斜率为1的平行直线系，由图知，满足条件的情况m∈1,2。②满足条件 m∈2∪1,2
点拨：将方程两边转化为两个可画出图形的函数。在同一坐标系中，画出这两个函数的图像，这就把方程问题转化为图像问题，然后充分利用图形直观性解决问题。
二、 不等式与图形的转化
例题2、解不等式2x-x2>x-1
解析：令y=2x-x2,y= x-1；而y=2x-x2是以（1,0）为圆心，以1为半径的上半圆， y= x-1是斜率为1，在 轴上的截距为-1的直线。满足不等式的图形是圆在直线上方的部分（如图2）；因此，求出直线和圆的交点横坐标为y=2x-x2
y= x-1x=1+2，∴不等式的解集为X∈0,1+2点拨：将不等式转化为可画出图形的两个函数，这样就把不等式问题转化为“图像高低”为题，然后求交点，指出满足条件的横坐标范围，即是不等式的解。
三、 求曲线交点与方程之间的转化
解析几何的基本思想就是用代数方法处理几何问题，其中，求曲线交点的有关判断问题，常转化为二元一次方程有根的问题。
例题3、抛物线Y2=x与圆（x-a）2+y2有四个交点，求实数a的取值范围。
解析：∵ y2=x
(x-a)2+y2=1x2-(2a-1)x+a2=0
△=（2a-1）2-4(a2-1)>0
x1+x2=2a-1
x1x2=a2-1 解得 1四、 转化为三角函数问题
例题4、设椭圆X2a2+y2b2=1(a>b>0)与X、Y轴正半轴分别交与A、B，点P(x、y)是椭圆位于第一象限的点，求四边形OAPB的面积的最大值。
解析：椭圆参数方程为x=acosθ
y=bsinθ（θ为参数），则P(acosθ，bsinθ)
SœOAPB=S△OAP+S△OPB=12absinθ+12bacosθ=12ab(sinθ+cosθ)=22absin（θ+π4）ن22ab，当且仅当θ=π4,P(22a,22b)时等号成立，
即Smax=22ab。点拨：将面积问题转化为三角函数的最值问题，体现出三角函数的工具性和知识之间的联系性，使学生综合应用知识的能力得以提高。
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