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1. 分子分母同时乘以 （1-α），

因为 （1-α）（1+ α）= 1- α ²， 重复利用这个公式，

整理得分子为 1- α^（2^(n+1)） ，因为 | α | <1 ， 所以

当n → ∞ 时， 1- α^（2^(n+1)） → 1 。

所以 所求极限为 1/(1- α) 。

2.

设 an = (1/2) * (3/4)* …… * （（2n-1）/(2n)) ,

因为 第 n+1 项 为：

a(n+1) = an * (2n+1)/(2n+2) < an，所以 an 为单减数列。

利用数学归纳法，可证 0< an <1 .

所以 an 收敛，即原极限存在，设为 a 。则 0 ≤ a ≤ 1 。

计算 an 的平方，得

an ^2 = (1/4) * (9/16)* …… * （（2n-1）^2 /(2n)^2) ,

因为 （2n-1）^2 /(2n)^2 <(2n-1)^2 / [(2n)^2 -1] = (2n-1)/(2n +1)

所以 an^2 两边取极限，得 a^2 ≤ 0。

所以 a = 0 。

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