抛物线教案 教学内容:1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);2.描点画抛物线. 教学目标:1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、 描点、画抛物线图形;3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化. 教学过程
一、课题引入 先复习抛物线的定义、四类标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程.然后提出:为了准确而简便地画出抛物线的图形,应对抛物线的标准方程所对应的图形的位置有一个大体的估计,为此要先对抛物线的范围、对称性、截距进行讨论.还应明确,把抛物线的定义与椭圆、双曲线的第二定义加以对比,提出抛物线的离心率等于1.
二、知识讲解1.抛物线对学生来说是比较熟悉的,有了讨论椭圆、双曲线几何性质的基础,再讨论抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)不会遇到什么障碍.但要注意:抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大,它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线,它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.2.在抛物线的标准方程y2=2px(p>0)中,令x=,则y=±p.这就是说,通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标为(,p),(,-p),连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长是2p.利用抛物线的几何性质及抛物线上坐标为(,p),(,-p)的两点,能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图.
三、例题讲解 例1.已知抛物线的顶点在原点且经过点(5,5),x轴为对称轴,求这抛物线的方程,并画出它的图形. 分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数p. 解:设抛物线方程为y2=2px,因为它过点(5,5),故 52=2p*5,p= 所以 抛物线方程为y2=5x.列表 x01.252234…y02.53.23.23.93.9… 描点,画图,(图略) 例2.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm,灯深为40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置. 分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p值. 解:(见课本P99) 例3.过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P
1、P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切. 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. 证明:如图2-15.设P1P2的中点为P0,过P
1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1,P0Q0,P2Q2,垂足为Q
1、Q0、Q2,则 |P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2| ∴|P1P2|=|P1F|+|P2F| =|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0| 所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因而圆P0和准线l相切. 例题4 .直线与交于A,B两点,且AB中点坐标是2,则此直线的斜率是 例题5 .上三点的纵坐标的平方成等差数列,求证:这三点与焦点的连线段长也成等差数列。
四、练习与讲评1.求满足下列条件的抛物线的方程
(1)顶点在原点,焦点是(0,-4)
(2)顶点在原点,准线是x=4
(3)焦点是F(0,5),准线是y=-5
(4)顶点在原点,焦点在x轴上,过点A(-2,4)2.在同一坐标系中,画出下列抛物线的草图.
(1)y2=2x
(2)y2=x
(3)
(4)y2=4x 比较这些图形,说明抛物线开口大小与方程中x的系数是怎样的关系.3.一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是1.1m,跨度是2.2m,求拱形的抛物线方程.4.设抛物线y2=4x的焦点F,准线l交x轴于R,过抛物线上一点P(4,4)作PQ⊥l于Q.求梯形PFRQ的面积. 答 案1.
(1)x2=-16y
(2)y2=-16x
(3)x2=20y
(4)y2=-8x2.(图略)x的系数越大,抛物线张口越大3.4.14 讲评:
(1)要正确判断抛物线的标准形式.
(2)注意p>0.
(3)对于实际问题,要合理选择坐标系. 小结: 1. 抛物线的几何性质 2. 数与形的结合与转化