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研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。...
有谁能告诉我关于微分和导数的数学史吗
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642-1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。 牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。 （l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。 （2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。 （3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。
牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。 莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz 1646-1716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。
莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展，莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 微积分成为了一门数学分支.
18世纪微积分深入发展的几个方面
刺激和推动了许多新分支的产生，使分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特别的独立的数学领域.这个时期微积分学的发展有三个显著特征.
第一个特征是分支广泛.数学家从物理学、力学、天文学的研究中发现、创立了许多数学新分支，这些分支在十八世纪大都处于萌芽状态，未形成系统严密的理论.他们的目标不是研究数学，而是用数学去解决物理学中的问题.他们认为数学只是物理学的一个工具.他们关心的只是数学对天文学、物理学的价值.可以说十八世纪数学的推动力是物理学和天文学.
泰勒和马克劳林在研究弦振动理论和天文学问题时，得到级数展开理论；微分几何是克莱罗和欧拉在研究曲线曲面的力学问题、光学问题、大地测量和地图绘制问题时产生的；欧拉、拉格朗日在研究力学和天体运行问题之时，建立了变分法和常微分方程；达朗贝尔、拉普拉斯和拉格朗日在研究弦振动、弹性力学和万有引力问题时建立了偏微分方程理论（主要是一阶的）；欧拉、柯西在研究流体力学问题时，建立了复变函数论等等.
第二个特征是方法的交替.几何论证法是自古以来人们研究数学时所广泛使用的方法.十七世纪的时候，代数是人们兴趣的中心，那时候代数和分析还没有分开来.但是到了十八世纪，它变成从属于数学分析，而且除了数论以外，促进代数研究的因素大部分来自数学分析.随着对微积分研究的进一步深入，欧拉和拉格朗日认识到分析方法具有更大的效用，就慎重地、逐渐地把几何论证换成分析论证.欧拉的许多教科书里都着重说明了怎样使用分析法.拉格朗日在他的《分析力学》的序言中大力推广分析论证.拉普拉斯在他的《宇宙体系统》中也强调了分析法的重要作用.后来许多数学家开始认识到分析法的重要性，这样数学分析的思想方法逐渐被普遍地采用了.
第三个特征是不严密.正如任何一项重大的发明，都不可能在一开始时便完整无瑕，微积分在其产生的初期，也因理论的不严密而在许多方面陷入了自相矛盾的困境.
微积分产生于解析几何、物理等的直观问题的需要，而同时也广泛地被利用.它没有相应的数学理论作指导，还来不及为自己打基础.微积分的基础是极限理论，而牛顿，莱布尼茨的极限观念是十分模糊的.究竟什么是极限？无穷小又是什么？这在当时没有人作出过合理的解释.级数和积分的收敛性，微分和积分次序交换，高阶微分的使用，以及微分方程解的存在性问题等等，那时几乎没有人涉足.数学家就沉迷于用新的数学方法去解决物理、天文等方面的问题，而又被得到的新的成果所陶醉.大家还顾及不上去追究在数学推理上的严密性.在当时的情况下也没看到有这必要.正如达朗贝尔在1743年说：“直到现在……表现出更多关心的是去扩大建筑，而不是在人口处张灯结彩；是把房子盖得更高些，而不是给基础补充适当的强度.”因此，十八世纪的数学家开垦了许多新的处女地，数量之多是惊人的，但是他们的工作是粗糙的，不严密的，是刀耕火种式的工作方法.由于十八世纪的数学家忙于应用解析几何和微积分这两种强有力的数学工具去解决科学和技术中的许多实际问题，并被新方法的成功所陶醉，而无暇顾及所依据的理论是否可靠，基础是否扎实，这就出现了谬误越来越多的混乱局面
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